Качение без скольжения. Качение идеального тела

Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как, например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в шариковых и роликовых подшипниках и т.п.

Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, то есть вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.

Между катк­ом и плоскостью, на которой он покоится, возникают силы трения, если приложить к оси катка силу (рис. 7.5), стремящуюся его двигать по плоскости.

Рассмотрим случай, когда сила параллельна горизонтальной плоскости. Из опыта известно, что при изменении модуля силы от нуля до неко­торого предельного значения каток остается в покое, т.е. силы, дейст­вующие на каток, уравновешиваются. Кроме активных сил (веса и си­лы ), к катку, равновесие которого рассматривается, приложена реакция плоскости. Из условия равновесия трех непараллельных сил следует, что реакция плоскости должна проходить через центр катка О , так как две другие силы приложены к этой точке.

Следовательно, точка приложения реакции С должна быть смещена на некоторое расстояние от вертикали, проходящей через центр коле­са, иначе реакция не будет иметь горизонтальной составляющей, необхо­димой для удовлетворения условий равновесия. Разложим реакцию плос­кости на две составляющие: нормальную составляющую и касатель­ную реакцию , являющуюся силой трения (рис. 7.6).

В предельном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил (, ) с момен­том (где r – радиус катка) и вторая пара сил ( , ), удерживаю­щая каток в равновесии.

Момент пары, называемой моментом трения качения , определяется формулой:

из которой следует, что для того, чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения качения была меньше максимальной силы трения скольжения:

где f – коэффициент трения скольжения.

Таким образом, чистое качение (без скольжения) будет, если .

Трение качения возникает из-за деформации катка и плоскости, вследствие чего соприкосновение между катком и плоскостью происходит по некоторой поверхности, смещенной от нижней точки катка в сторону возможного движения.

Если сила не направлена по горизонтали, то ее следует разложить на две составляющие, направленные по горизонтали и вертикали. Верти­кальную составляющую следует сложить с силой , и мы снова приходим к схеме действия сил, изображенных на рис. 7.6.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:

1. Наибольший момент пары сил, препятствующий качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2. Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению и равной ему нормальной реакции : .

Коэффициент пропорциональности d называют коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода . Коэффициент d имеет размерность длины.

3. Коэффициент трения качения d зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения .

Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.

Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.

Для того, чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия

Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие

> Качение без скольжения

Рассмотрите движение без проскальзывания . Читайте про роль угловой и линейной скорости, как действуют поступательное и вращательное движения, формулы.

Качение без скольжения можно распределить на вращательное и поступательное движения.

Задача обучения

• Научиться отличать два разных движения, где качение осуществляется без скольжения.

Основные пункты

• В качении без скольжения разобраться намного проще, если вы разобьете его на поступательное и вращательное движения.
• Когда объект катится по плоскости без скольжения, то точка контакта между ними не смещается.
• Скорость v скользящего объекта напрямую связана с угловой скоростью ω. Математически выражается как v = ωR, (R – радиус объекта, а v – линейная скорость).

Термины

• Угловая скорость – векторная величина, характеризующая перемещение тела в круговом движении. Приравнивается к угловой скорости и направлена перпендикулярно плоскости.
• Линейная скорость – векторная величина, отображающая скорость изменения позиции по времени центра масс.

Если с самого начала объект переворачивается без буксирования, то можно говорить о качении без проскальзывания. Чтобы разобраться, давайте рассмотрим пример с колесом на плоской горизонтальной поверхности.

Движение без проскальзывания понять намного проще, если выделить в нем движение центра масс с линейной скоростью v и вращательное движение вокруг центра с угловой скоростью w.

Движение качения отображает комбинацию вращательного и поступательного движений

Когда объект катится по плоскости без скольжения, точка контакта не смещается. Если представим, что колесо движется со скоростью v, то заметно, что оно должно также совершать движение вокруг своей оси с угловой скоростью ω.

Угловая скорость тела (ω) расположена прямо пропорционально скорости движения. Вы ведь могли заметить: чем быстрее разогналась машина, тем больше оборотов совершают колеса. Чтобы вычислить точную связь между линейной и угловой скоростями, можно взять случай, где колесо смещается на дистанцию х при повороте на углу θ.

Тело, скатывающееся на дистанцию х на плоскости, лишенной скольжения

В математике длина дуги приравнивается к углу сегмента, умноженному на радиус объекта (R). Отсюда выходит, что длина дуги колеса, повернутого на θ, достигает Rθ. Так как колесо постоянно контактирует с поверхностью, длина дуги также равна х. Выходит:

Не забывайте, что х и θ зависят от времени, поэтому возьмем их производные:

Здесь аналогичен v в линейной скорости, а – угловой скорости ω. Теперь можно все упростить:

Пусть на тело вращения, располагающееся на опоре, действуют: P - внешняя сила, пытающаяся привести тело в состояние качения или поддерживающая качение и направленная вдоль опоры, N - прижимающая сила и Rp - сила реакции опоры.

Если векторная сумма этих сил равна нулю, то ось симметрии тела движется равномерно и прямолинейно или остаётся неподвижной. Вектор Ft=-P определяет силу трения качения, противодействующую движению. Это означает, что прижимающая сила уравновешивается вертикальной составляющей реакции опоры, а внешняя сила уравновешивается горизонтальной составляющей реакции опоры.

Ft·R=N·f

Отсюда сила трения качения равна:

Происхождение трения качения можно наглядно представить себе так. Когда шар или цилиндр катится по поверхности другого тела, он немного вдавливается в поверхность этого тела, а сам немного сжимается. Таким образом, катящееся тело все время как бы вкатывается на горку. Вместе с тем происходит отрыв участков одной поверхности от другой, а силы сцепления, действующие между этими поверхностями, препятствуют этому. Оба эти явления и вызывают силы трения качения. Чем тверже поверхности, тем меньше вдавливание и тем меньше трение качения.

Обозначения:

Ft - сила трения качения

f - коэффициент трения качения, имеющий размерность длины (м) (следует отметить важное отличие от коэффициента трения скольжения μ , который безразмерен)

R - радиус тела

N - прижимающая сила

P - внешняя сила, пытающаяся привести тело в состояние качения или поддерживающая качение и направленная вдоль опоры;

Rp - реакция опоры.

В кинематических парах реальных механизмов возникают силы трения; во многих случаях эти силы существенно влияют на движения механизма и должны учитываться в силовых расчетах.

Пусть S – поверхность соприкосновения элементов кинематической пары (рис.5.1). Выделим на этой поверхности элементарную площадку dS в окрестности некоторой точки A . Рассмотрим силы взаимодействия, возникающие на этой площадке и приложенные к одному из звеньев кинематической пары. Главный вектор этих сил разложим на составляющие: , направленную по нормали к поверхности S , и , лежащую в касательной плоскости. Главный момент относительно точки A также разложим на нормальную и касательную составляющие. Сила называется силойтрения скольжения ; момент – моментомтрения качения , а момент – моментомтрения верчения . По своей физической природе силы трения являются силами сопротивления движению; отсюда следует, что сила направлена противоположно вектору относительной скорости (скорости скольжения) в точке A , а векторы и – противоположны по направлению соответственно касательной и нормальной составляющим вектора относительной угловой скорости.

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что при силовом анализе механизмов можно в большинстве случаев основываться на законе сухого трения, известным в физике под названием законаАмонтона – Кулона . В соответствии с этим законом модули силы трения dF и моментов dM К и dM В принимаются пропорциональными модулю нормальной составляющей реакции dN :

где f – безразмерный коэффициенттрения скольжения, а k и k В – коэффициентытрения качения и верчения, измеряемые в сантиметрах.

Из (5.1) и сделанных выше предположений о направлении сил и моментов вытекают следующие векторные соотношения:

Формулы (5.1) и (5.2) могут быть непосредственно использованы для определения сил трения в высшей кинематической паре с точечным контактом. В случае низших кинематический пар с контактом по линии главный вектор и главный момент сил трения определяется интегрированием сил и моментов, возникающих на элементарных площадках по поверхности или по линии соприкосновения. Так, например, суммарная сила трения в низшей кинематической паре может быть определена по формуле

где S – поверхность соприкосновения. Для того чтобы воспользоваться этой формулой, нужно знать закон распределения нормальных реакций по поверхности S .

Коэффициенты трения скольжения, верчения и качения определяются экспериментально; они зависят от многих факторов: от свойств материала, из которого изготовлены соприкасающиеся элементы кинематических пар, от чистоты обработки поверхностей, от наличия смазки и свойств смазочного материала, наконец, от величины относительной скорости и относительной угловой скорости звеньев. В механике машин значения этих коэффициентов предполагаются заданными и постоянными.

Формулы (5.1) и (5.2) становятся неприменимыми, если скорость скольжения в точке контакта и относительная угловая скорость равны нулю, то есть если звенья, образующие кинематическую пару, находятся в состоянии относительного покоя. В этом случае суммарные силы и моменты сил трения в кинематической паре могут быть определены из условий равновесия звеньев; они оказываются при этом зависящими не от нормальных реакций, а непосредственно от приложенных внешних сил.

Поясним сказанное примером. На рис.5.2, а изображена кинематическая пара, образованная цилиндром 1 и плоскостью 2 . Сила тяжести цилиндра G уравновешивается нормальной реакцией N , являющейся равнодействующей элементарных нормальных сил, возникающих в точках контакта, лежащих на образующей цилиндра. Приложив к оси цилиндра горизонтальную внешнюю силу P , мы обнаружим, что при достаточно малой величине этой силы цилиндр останется в состоянии покоя. Это означает, что сила P уравновешивается горизонтальной составляющей реакции F , а момент P ּr – моментом M К , вектор которого направлен по образующей цилиндра. Таким образом

F = P , M К = P ּ r . (5.4)

Сила F и момент M К могут возникнуть только за счет сил трения, величина которых, как это видно из формулы (5.4), определяется только величиной силы P и не зависят от N . Однако, увеличивая силу P , мы обнаружим, что при некотором ее значении состояние покоя будет нарушено. Если сила P достигнет такой величины, при которой нарушится условие

где k – коэффициент трения качения, то начнется качение цилиндра по плоскости без скольжения. Скольжение начинается при нарушении условия

где f n – коэффициенттрения покоя, обычно несколько превышающий величину коэффициента трения скольжения f . Если k /r <f n , то сначала (при увеличении P ) начнется качение, а скольжение произойдет при большем значении P ; при k /r > f n будет наблюдаться обратная картина.

Отметим попутно, что возникновение момента M K связано с деформацией цилиндра и плоскости в зоне контакта (см. рис.5.2, б ) и появлением несимметрии в распределении нормальных сил, которая вызывает смещение их равнодействующей N в направлении вектора силы P .

Введение сил трения приводит к увеличению числа неизвестных компонент реакций кинематической пары, а количество уравнений кинетостатики при этом не возрастает. Для того, чтобы задача силового анализа осталась разрешимой, необходимо ввести дополнительные условия, количество которых равно числу неизвестных. Проще всего такие условия вводятся для высшей кинематической пары первого класса (рис.5.3). Пусть поверхности элементов пары деформируются под действием нормальной силы и касаются в малой окрестности точки А , а относительное движение звеньев определяется заданием скорости скольжения и вектора относительной угловой скорости . Направим ось z по общей нормали к поверхностям в точке А , а ось х – по линии действия вектора . Тогда все компоненты реакции выражаются через величину нормальной силы N . Используя соотношения (5.1), находим

где – компонента вектора угловой скорости, лежащая в плоскости хАy , а w t х и w t y – ее проекции на оси х и y . Формулы (5.7) выражают пять компонент реакций через шестую компоненту.

Получение аналогичных соотношений для пар с меньшей подвижностью является сложной задачей, поскольку в общем случае закон распределения нормальных реакций по поверхности или по линии соприкосновения остается неизвестным. Обычно дополнительные условия выбираются с учетом конструктивных особенностей элементов кинематической пары, позволяющих делать некоторые априорные предположения о характере распределения нормальных реакций.

В земных условиях любые движущиеся тела (или приходящие в движение) соприкасаются с веществом окружающей среды либо с другими телами. При этом возникают силы, оказывающие сопротивление их движению. Силы эти именуются силами трения, они переводят часть движения во внутреннюю энергию, что сопровождается нагреванием тел и окружающей среды.

Трение бывает внешним и внутренним. Внутреннее (иначе называемое вязкостью) заключается в возникновении касательной силы между перемещающимися слоями жидкость или газа, мешающей этому перемещению.

В отличие от него, внешнее трение возникает в местах контакта твердых тел в виде силы, касательной к их поверхности и затрудняющей их взаимное перемещение. Оно, в свою очередь, подразделяется на статическое и кинематическое. Статическое трение проявляется при попытке сдвинуть одно неподвижное тело относительно другого. Кинематическое существует между движущимися телами, соприкасающимися между собой. Внешнее трение можно разделить на трение скольжения и качения.

В чем физический смысл трения? Полезно оно или вредно? На первый взгляд, трение только мешает нам: изнашиваются детали механизмов, шины автомобилей, стираются подошвы ботинок и т. д. И создание невозможно лишь по этой причине. Но приглядимся повнимательнее. Исчезнет трение - мы не сможем ни шагать, ни листать книгу, ни тронуть с места автомобиль, ни остановить движущийся. Огромное число в мире базируется на трении. Два главных достижения человечества, определивших развитие цивилизации - добыча огня и изобретение колеса - были бы без него невозможны.

Основано данное явление на неровности любых тел: при соприкосновении зазубрины одного всегда цепляются за шероховатости другого. Для идеально гладких (например, тщательно отшлифованных) поверхностей, плотно прилегающих друг к другу, действуют законы молекулярного трения, основанного на взаимном притяжении молекул.

Изучает трение наука трибология. В 1781 году французским физиком Ш. Кулоном были сформулированы основные законы сухого трения. Опытным путем ученый установил, что сила трения F, возникающая при скольжении, прямо пропорциональна действующей на тело силе N нормального давления. Эта зависимость выглядит следующим образом:

где величина k - коэффициент трения (коэффициент пропорциональности). Его величина была вычислена так: тело помещалось на наклонную плоскость и путем изменения угла наклона достигалось его При этом сила трения F равнялась движущей силе P:

F = P ∙ sin a;

Величина силы N (силы нормального давления) равна P ∙ cos a; следовательно k = tg a. Коэффициент трения отсюда является тангенсом угла наклона поверхности, по которой тело скользит равномерно, т. е. с постоянной скоростью.

На практике его значение может быть вычислено лишь приблизительно. Поверхности тел, как правило, в той или иной степени загрязнены, имеют окислы, ржавчину и другие включения. Коэффициент трения, определяемый попарно для сочетаний различных материалов путем экспериментов, вносится в специальные справочные таблицы.

При возникает оттого, что движущееся колесо слегка вдавливается в дорожную поверхность, т. е. вынуждено преодолевать небольшой бугорок. Чем тверже дорога, тем меньше этот бугорок и меньше сила трения. Ее величина рассчитывается в данном случае формулой: F = k ∙ N / r, в которой r - величина радиуса колеса. Следовательно, коэффициент трения качения обладает размерностью протяженности. Обычно его выражают в сантиметрах в отличие от коэффициента трения скольжения, являющегося безразмерной величиной.

Как упоминалось выше, коэффициент внутреннего трения существует не только для твердых тел, но и для жидкостей. В гидравлике часто требуется рассчитать потери удельной энергии гидравлических систем, возникающие в трубопроводах. Они бывают двух по длине, возникающие в прямых трубах при равномерном течении, и местные потери, причина которых - деформация потока из-за изменения формы канала (сужение, расширение, повороты). Гидравлические потери рассчитывают с помощью аналогичной величины, которая называется «коэффициент гидравлического трения».