Произведение матриц (С= АВ) - операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n
Пример 1
Даны матрицы:
- A = a (i j) размеров m × n ;
- B = b (i j) размеров p × n
Матрицу C , элементы c i j которой вычисляются по следующей формуле:
c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m
Пример 2
Вычислим произведения АВ=ВА:
А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1
Решение, используя правило умножения матриц:
А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2
В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3
Произведение А В и В А найдены, но являются матрицами разных размеров: А В не равна В А.
Свойства умножения матриц
Свойства умножения матриц:
- (А В) С = А (В С) - ассоциативность умножения матриц;
- А (В + С) = А В + А С - дистрибутивность умножения;
- (А + В) С = А С + В С - дистрибутивность умножения;
- λ (А В) = (λ А) В
Проверяем свойство №1: (А В) С = А (В С) :
(А × В) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,
А (В × С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .
Пример 2
Проверяем свойство №2: А (В + С) = А В + А С:
А × (В + С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,
А В + А С = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .
Произведение трех матриц
Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:
- найти А В и умножить на С: (А В) С;
- либо найти сначала В С, а затем умножить А (В С) .
Перемножить матрицы 2-мя способами:
4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1
Алгоритм действий:
- найти произведение 2-х матриц;
- затем снова найти произведение 2-х матриц.
1). А В = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126) = 2 - 6 - 6 21
2). А В С = (А В) С = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .
Используем формулу А В С = (А В) С:
1). В С = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12
2). А В С = (А В) С = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3
Ответ: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3
Умножение матрицы на число
Определение 2Произведение матрицы А на число k - это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
b i , j = k × a i , j
Свойства умножения матрицы на число:
- 1 × А = А
- 0 × А = нулевая матрица
- k (A + B) = k A + k B
- (k + n) A = k A + n A
- (k × n) × A = k (n × A)
Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.
5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0
Умножение матрицы на вектор
Определение 3Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:
- если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
- результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:
А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m
- если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:
А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n
Пример 5
Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В:
А В = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2
Пример 6
Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В:
А = 3 2 0 - 1 , В = - 1 1 0 2
А В = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Ответ: А В = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
состоящая из т строк и п столбцов, называется матрицей размера n × m . Числа а 11 , а 12 , ..., а mn называются ее элементами. Таблицу, обозначающую матрицу, записывают в круглых скобках и обозначают А = (а ij ).
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк, равное числу столбцов, - порядком квадратной матрицы.
Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним -побочной диагональю.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие по главной диагонали равны единице, а остальные – нули, называется единичной и обозначается Е.
Две матрицы и называются равными, если число их строк и столбцов равны и если равны элементы, стоящие на соответственных местах этих матриц.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через Н .
По определению, чтобы умножить матрицу А на число r, нужно каждый элемент матрицы А умножить на r.
Пример.
Дана матрица А
=
, найти
матрицу 3А
.
3
А =
3
=
Суммой матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны суммам соответственных элементов матриц А и В . Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов.
Пример.
Даны матрицы А
=
иВ
=
.
Найти матрицуС
= А + В.
С
=
Свойства сложения матриц:
А+В=В+А
(А+ В ) + С = А+ (В + С)
А + Н = А
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ, у которой столько же строк, сколько их в матрице А , и столько же столбцов, сколько их в матрице В.
Произведением двух матриц А (m × p ) и В (p × n ) называется матрица С (m × n ), элементы которой определены по правилу
С
ij
=
Замечание . Для того, чтобы перемножить две матрицы нужно элементы i -ой строки первой матрицы умножить на элементы j -ого столбца второй матрицы и сложить полученные произведения. Получим элемент новой матрицы с индексом ij .
Пример. Даны матрицы а и в. ;. Найти произведение матриц ав.
АВ=
=
=
Пример. Даны матрицы А
и В
.
А
=
иВ =
.
Решение: А = (2X3), В = (3X2) => АВ = (2X2)
АВ=
=
=
Свойства умножения матриц:
АВ ВА;
(АВ)С=А(ВС);
АЕ = ЕА = А
(АВ )k = (AB)k= A(Bk)
(A+B)C = AB +BC
A(B+C) = AB + AC/
Транспонированной матрицей А T называется матрица, у которой строки записаны вместо столбцов, а столбцы – вместо строк.
Пример.
Пусть дана матрица А=
,
тогда
А
T
=
Определители.
Определителем
второго порядка,
соответствующий матрице А
=
,
называется число
=а
11 а
22
- а
12 а
21 .
Пример. Вычислить определителем второго порядка.
=
1 · (-3) – 2 · 4 = -11.
Определителем третьего порядка, соответствующий матрице
А
=
,
называется число
=а
11
а
22
а
33
+а
12
а
23
а
31
+
а
13
а
21
а
32
-
а
13
а
22
а
31
-
а
12
а
21
а
33
–а
11
а
23
а
32.
Чтобы запомнить какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно правило названное правилом треугольника, изображенное на рис. 1.
«
+ » « - »
Рисунок 1.
Пример. Вычислить определитель
Второй способ вычисления определителей третьего порядка – это способ вычисления определителей третьего порядка, заключается в дописывании первых двух столбцов, в нахождении произведений по главной диагонали и параллелях к ней и по побочной диагонали и параллелях к ней.
=
а
11
а
22
а
33
+а
12
а
23
а
31
+
а
13
а
21
а
32
-
а
13
а
22
а
31
-
а
12
а
21
а
33
–а
11
а
23
а
32.
Свойства определителей :
Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его знак изменится на противоположный.
Если в определителе поменять местами строки и столбцы, то его знак и величина не изменится.
Если в определителе две строки пропорциональны (равны), то он равен нулю.
Если в определителе какую либо строку (столбец) умножить на некоторое число и сложить с другой строкой (столбцом), то его значение не изменится.
Если в определителе элементы какой либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Если определитель содержит нулевую строку или столбец, то он равен нулю.
Минором М ij элемента определителя а ij называется определитель, получаемый из исходного путем вычеркивания i - ой строки и j -ого столбца на которых расположен этот элемент.
Алгебраическим дополнением А ij элемента определителя а ij называется минор умноженный на (-1) i + j .
Третий способ вычисления определителей – с помощью теоремы разложения.
Теорема разложения: Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Пример.
Вычислить определитель третьего
порядка
,
разложив определитель по элементам
первой строки.
=
5· (-1) 1+1 ·
+ 3 · (-1) 1+2 ·
+ 2·(-1) 1+3 ·
= 68.
Этот же определитель можно вычислить с помощью свойства 4), а затем применить теорему разложения. В нашем примере образуем нули в первом столбце. Для этого к элементам первой строки прибавим элементы второй строки, умноженной на 5, а к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженной на 7. И полученную матрицу разложим по элементам первого столбца.
=
=
0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.
Умножать две матрицы можно только при условии, что в первой из них ровно такое же количество столбцов, сколько строк во второй. Сами же значения при этом могут быть не только целыми, но и дробными. Получив расшифровку вычисления этой задачи, вы сможете понять, как происходит перемножение. Это сэкономит ваше время и поможет лучше разобраться в вычислительных тонкостях.
Допустим, у вас имеется две матрицы, и вам предстоит найти их произведение. Сделать это оперативно и с наивысшей точностью вам поможет данный онлайн-калькулятор. Он не просто умножит две матрицы без затруднений за пару минут, но и позволит вам детальнее разобраться в самом алгоритме этих расчётов. Таким образом, применение онлайн-калькулятора способствует закреплению пройденного в теории материала. Можно также сначала производить вычисления вручную, а затем проверять их здесь, это превосходная тренировка для мозга.
Инструкция пользования данным онлайн-калькулятором не представляет сложности. Чтобы умножить матрицы онлайн для начала укажите количество имеющихся столбцов и строк в первой матрице посредством нажатия на иконки «+» или «-» слева от матрицы и под ней. Затем введите числа. Повторите те же операции для второй матрицы. Далее остаётся лишь кликнуть кнопку «Вычислить» - и перед вами откроется искомое значение вместе с детальным алгоритмом вычислений.
Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)
Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:
1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;
2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .
Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения
:
Пример 6
Перемножить матрицы двумя способами
Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.
1) Используем формулу
Действие первое:
Действие второе:
2) Используем формулу
Действие первое:
Действие второе:
Ответ :
Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ . Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.
Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:
Пример 7
Найти произведение трёх матриц
Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.
Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.
Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос.