Основные вопросы лекции: уравнения линии на плоскости; различные формы уравнения прямой на плоскости; угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой; кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и геометрические свойства; уравнения плоскости и прямой в пространстве.

Уравнение вида называется уравнением прямой в общем виде.

Если выразить в этом уравнении, то после замены и получим уравнение, называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом, причем, где - угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Если же в общем уравнении прямой перенести свободный коэффициент в правую сторону и разделить на него, то получим уравнение в отрезках

Где и - точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат соответственно.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Пусть заданы две прямые и.

Чтобы найти точку пересечения прямых (если они пересекаются) необходимо решить систему с этими уравнениями. Решение этой системы и будет точкой пересечения прямых. Найдем условия взаимного расположения двух прямых.

Так как, то угол между этими прямыми находится по формуле

Отсюда можно получить, что при прямые будут параллельными, а при - перпендикулярны. Если прямые заданы в общем виде, то прямые параллельны при условии и перпендикулярны при условии

Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле

Нормальное уравнение окружности:

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где - большая полуось, - малая полуось и. Фокусы находятся в точках. Вершинами эллипса называются точки,. Эксцентриситетом эллипса называется отношение

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

где - большая полуось, - малая полуось и. Фокусы находятся в точках. Вершинами гиперболы называются точки, . Эксцентриситетом гиперболы называется отношение

Прямые называются асимптотами гиперболы. Если, то гипербола называется равнобочной.

Из уравнения получаем пару пересекающихся прямых и.

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, от каждой из которых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой называемой директрисой, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение параболы

Определение . Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение с двумя переменными

x , y любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Здесь F(x, y) x и y .

Уравнение поверхности

Определение . Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными

которому удовлетворяют координаты x , y , z любой точки данной поверхности и только они.

Здесь F(x, y) - некоторая зависимость между x , y и z .

Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями. Пусть l - линия, по которой пересекаются поверхности, определяемые уравнениями F 1 (x, y, z)=0 и F 2 (x, y, z)=0 , то есть множество общих точек этих поверхностей, тогда координаты любой точки линии l одновременно удовлетворяют обоим уравнениям

Эти уравнения и являются уравнениями указанной линии.

Например, уравнения

определяют окружность радиуса R=2 , лежащую в плоскости Oxy . Полярные координаты

Зафиксируем на плоскости точку O и назовем ее полюсом (Рис. 1(a)). Луч [OP ), исходящий из полюса, назовем полярной осью . Выберем масштаб для измерения длин отрезков и условимся, что поворот вокруг точки O против часовой стрелки будем считать положительным.

Рис. 1

Рассмотрим любую точку M на заданной плоскости, обозначим через ρ ее расстояние до полюса и назовем полярным радиусом . Угол, на который нужно повернуть полярную ось [OP ), чтобы она совпадала с [OM ) обозначим через φ и назовем полярным углом .

Определение . Полярными координатами точки M называются ее полярный радиус ρ и полярный угол φ .

Обозначение : M(ρ, φ) .

Любой точке плоскости соответствует определенное значение ρ≥0 . Значение φ для точек, отличных от точки O , определено с точностью до слагаемого 2kπ , k∈Z . Для полюса ρ=0 , а φ не определено. Чтобы каждая точка плоскости получила вполне определенные значения полярных координат, достаточно считать, что 0≤φ<2π , а в полюсе φ=0 . Указанные значения φ называются главными .

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат: полюс совпадает с началом, а полярная ось - с положительной полуосью Ox . Декартовы координаты точки M(x, y) , полярные координаты точки M(ρ, φ) .

Связь между прямоугольными декартовыми координатами точки и ее полярными координатами:

Цилиндрические и сферические координаты

В некоторой плоскости Π фиксируем точку O и исходящий из нее луч [OP ) (Рис. 1(b)). Через точку O поведем прямую перпендикулярную плоскости Π и укажем на ней положительное направление; полученную ось обозначим Oz . Выберем масштаб для измерения длин. Пусть M N - ее проекция на плоскость Π , M z - проекция на Oz . Обозначим через ρ и φ полярные координаты точки N в плоскости Π относительно полюса O и полярной оси OP .

Определение . Цилиндрическими координатами точки M называются числа ρ , φ , z , где ρ , φ - полярные координаты точки N (ρ≥0 , 0≤φ≤2π ), а z=OM z - величина отрезка оси Oz .

Запись M(ρ, φ, z) означает, что точка M имеет цилиндрические координаты ρ , φ , z . Наименование «цилиндрические координаты» объясняется тем, что координатная поверхность ρ=const является цилиндром.

Если выбрать систему прямоугольных декартовых координат, то декартовы координаты x , y , z точки M будут связаны с ее цилиндрическими координатами ρ , phi , z формулами

Выберем масштаб для измерения длин отрезков, зафиксируем плоскость Π с точкой O и полуосью Ox , ось Oz , перпендикулярную плоскости Π (Рис. 1(c)). Пусть M - произвольная точка пространства, N - ее проекция на плоскость Π , r - расстояние точки M до начала координат, θ - угол, образуемый отрезком с осью Oz , phi - угол, на который нужно повернуть ось Ox против часовой стрелки, чтобы она совпала с лучом ON . θ называется широтой , φ - долготой .

Определение . Сферическими координатами точки M называются числа r , θ , φ , определенные выше.

Обозначение : M(r, θ, φ) .

Наименование «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность r=const является сферой.

Для того, чтобы соответствие между точками пространства и тройками сферических координат (r, θ, φ ) было взаимно однозначным считают, что

Если выбрать оси прямоугольной декартовой системы координат как на рисунке, то декартовы координаты x , y , z точки M связаны с ее сферическими координатами r , θ , φ формулами

Преобразования прямоугольных координат на плоскости

а) Перенос начала или параллельный перенос .

Это означает, что при переходе от системы координат Oxy (старая) к системе координат O 1 x′y′ (новая) направление осей координат остается прежним, а за новое начало координат принята точка O 1 (a, b) , старые координаты которой x=a , y=b . Относительно таких систем говорят, что одна получена из другой путем параллельного переноса.

Связь между старыми и новыми координатами некоторой точки M плоскости определяется следующими формулами:

старые через новые координаты: x=x′+a , y=y′+b
новые через старые координаты: x′=x-a , y′=y-b

б) Поворот координатных осей .

При этом новая сиuтема Ox′y′ получается путем поворота старой Oxy на угол α вокруг точки O против часовой стрелки. С каждой из этих координат свяжем полярную систему координат, тогда

Вспоминаем формулы, выражающие координаты точки в декартовой системе через координаты точки в полярной системе

Теперь выражаем старые декартовы прямоугольные координаты x , y точки M через ее новые координаты x′ , y′ :

Следовательно, старые через новые координаты выражаются следующим образом:

Для того, чтобы выразить x′ , y′ через x , y можно поступить следующим образом. Считаем систему Ox′y′ старой, тогда переход к новой системе Oxy совершается поворотом на угол (-α ), поэтому в формулах достаточно поменять местами x→x′ , y→y′ , записать (-α ) вместо α , тогда имеем формулы, выражающие новые координаты через старые.

10.1. Основные понятия

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние - R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел - ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные x и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(x 0 ; у 0) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F 1 (x 1 ;y 1) = 0 и F 2 (x 2 ;y} = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; φ)=О называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

где x и у - координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если x = t + 1, у = t 2 , то значению параметра t = 1 соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. x = 1 + 1 = 3, у = 22 - 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим , а уравнения (10.1) - параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t.

Например, от уравнений путем подстановки t = х

во второе уравнение, легко получить уравнение у = х 2 ; или у-х 2 = 0, т. е. вида F(x; у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением r =r (t) , где t - скалярный переменный параметр. Каждому значению t 0 соответствует определенный вектор r =r (t) плоскости. При изменении параметра t конец вектора r =r (t) опишет некоторую линию (см. рис. 31).

Векторному уравнению линии r =r (t) в системе координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения. I Векторное уравнение и параметрические уравнения I линии имеют механический смысл. Если точка перемеща- I ется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия - траекторией точки, параметр t при этом есть время. Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x; у) = 0.

Всякому уравнению вида F(x; у) = 0 соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению (х-2) 2 +(у-3 ) 2 =0 соответствует не линия, а точка (2; 3); уравнению х 2 + у 2 + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение) вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

10.2. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом a между осью Ох и прямой (см. рис. 41).

Под углом а (0

Из определения тангенса угла следует равенство

Введем обозначение tg a=k , получаем уравнение

(10.2)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х;у) прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.

Число k = tga называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) - уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид y=kx .

Если прямая параллельна оси Ох, то a = 0, следовательно, k = tga = 0 и уравнение (10.2) примет вид у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (10.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент не существует.

В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

где a - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и y в общем виде

(10.4)

где А, В, С - произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.

Если В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид Ах + С = О, причем А ¹ 0 т. е. . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку ·

Если B ¹ 0, то из уравнения (10.4) получаем . Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом |.

Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой .

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение приводится к виду. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;

3) если С = 0, то получаем . Уравнению удовлетворяют координаты точки O(0;0), прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку и ее направление определяется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде , где b - пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку , то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой:. Отсюда . Подставляя значение b в уравнение, получим искомое уравнение прямой: , т. е.

(10.5)

Уравнение (10.5) с различными значениями k называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки и . Уравнения прямой, проходящей через точку M 1 , имеет вид

(10.6)

где k - пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку , то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): . Οтсюда находим . Подставляя найденное значение k в уравнение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки M 1 и M 2 .

(10.7)

Предполагается, что в этом уравнении ·

Если x 2 = x 1 прямая, проходящая через точки и параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид .

Если y 2 = y 1 то уравнение прямой может быть записано в виде , прямая M 1 M 2 параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке , а ось Оу – в точке (см. рис. 42). В этом случае уравнение (10.7) примет вид

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках , так как числа α и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному ненулевому вектору .

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) и рассмотрим вектор (см. рис. 43). Поскольку векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: , то есть

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Уравнение (10.8) можно переписать в виде

(10.9)

где А и B- координаты нормального вектора, - свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. (10.4)).

Полярное уравнение прямой

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить, указав расстояние ρ от полюса О до данной прямой и угол α между полярной осью ОΡ и осью l , проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см. рис. 44).

Для любой точки на данной прямой имеем:

С другой стороны,

Следовательно,

(10.10)

Полученное уравнение (10.10) и есть уравнение прямой в полярных координатах.

Нормальное уравнение прямой

Пусть прямая определяется заданием p и α (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат . Введем полярную систему, взяв за полюс и за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: , . Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид

(10.11)

Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой .

Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к виду (10.11).

Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель . Получим . Это уравнение должно обратиться в уравнение (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства: , , . Из первых двух равенств находим,т. е. . Множитель λ называется нормирующим множителем . Согласно третьему равенству знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости .

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии (рис.1).

В общем случае уравнение линии может быть записано в виде F(x,y)=0 или y=f(x).

Пример. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(-4;2), B(-2;-6).

Решение. Если M(x;y) – произвольная точка искомой линии (рис.2), то имеем AM=BM или

После преобразований получим

Очевидно, что это уравнение прямой MD – перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка AB .

Из всех линий на плоскости особое значение имеет прямая линия . Она является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях.

Различные виды уравнения прямой:

1)с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b :

y = kx + b ,

где – угол между прямой и положительным направлением оси ОХ (рис. 3).

Особые случаи:

– прямая проходит через начало координат (рис.4):

– биссектриса первого и третьего, второго и четвертого координатных углов:

y=+x, y=-x;

– прямая параллельна оси ОХ и сама ось ОХ (рис. 5):

y=b, y=0;

– прямая параллельна оси OY и сама ось ОY (рис. 6):

x=a, x=0;

2) проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом) k через данную точку (рис. 7):

Если в приведенном уравнении k – произвольное число, то уравнение определяет пучок прямых , проходящих через точку , кроме прямой , параллельной оси Oy.

Пример А(3,-2) :

а) под углом к оси ОХ;

б) параллельно оси OY.

Решение .

а) , y-(-2)=-1(x-3) или y=-x+1;

б) х=3.

3) проходящей через две данные точки (рис. 8):

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-5,4), В(3,-2).

Решение . ,

4) уравнение прямой в отрезках (рис.9):

где a, b – отрезки, отсекаемые на осях соответственно Ox и Oy.

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-1) , если эта прямая отсекает от положительной полуоси Oy отрезок, вдвое больший, чем от положительной полуоси Ox (рис. 10).

Решение . По условию b=2a , тогда . Подставим координаты точки А(2,-1):

Откуда a=1,5.

Окончательно получим:

Или y=-2x+3.

5) общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0,

где a и b не равны одновременно нулю.

Некоторые важные характеристики прямых :

1) расстояние d от точки до прямой:

2) угол между прямыми и соответственно:

3) условие параллельности прямых:

или .

4) условие перпендикулярности прямых:

или .

Пример 1 . Составить уравнение двух прямых, проходящих через точку А(5,1) , одна из которых параллельна прямой 3x+2y-7=0 , а другая перпендикулярна той же прямой. Найти расстояние между параллельными прямыми.

Решение . Рисунок 11.

1) уравнение параллельной прямой Ax+By+C=0 :

из условия параллельности ;

взяв коэффициент пропорциональности, равный 1, получим А=3, В=2;

т.о. 3x+2y+C=0;

значение С найдем, подставив координаты т. А(5,1),

3*5+2*1+С=0, откуда С=-17;

уравнение параллельной прямой – 3x+2y-17=0.

2) уравнение перпендикулярной прямой из условия перпендикулярности будет иметь вид 2x-3y+C=0;

подставив координаты т. А(5,1) , получим 2*5-3*1+С=0 , откуда С=-7;

уравнение перпендикулярной прямой – 2x-3y-7=0.

3) расстояние между параллельными прямыми можно найти как расстояние от т. А(5,1) до дано прямой 3x+2y-7=0:

Пример 2 . Даны уравнения сторон треугольника:

3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).

Составить уравнение биссектрисы угла АВС .

Решение . Вначале найдем координаты вершины В треугольника:

Откуда x=-8, y=0, т.е. В(-8,0) (рис. 12).

По свойству биссектрисы расстояния от каждой точки M(x,y) , биссектрисы BD до сторон АВ и ВС равны, т.е.

Получаем два уравнения

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

Из рисунка 12 угловой коэффициент искомой прямой отрицательный (угол с Ох тупой), следовательно, нам подходит первое уравнение x+7y+8=0 или y=-1/7x-8/7.

Скачать с Depositfiles

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Лекция № 7. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения

1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат

В аналитической геометрии линии на плоскости рассматриваются как геометрическое место точек (г.м.т.), обладающих одинаковым свойством, общим для всех точек линии.

Определение. Уравнение линии
– это уравнение с двумя переменными х и у , которому удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на данной линии.

Верно и обратное, т.е. любое уравнение у

вида , вообще говоря, в декартовой

системе координат (ДСК) определяет линию

как г.м.т., координаты которых удовлетворяют

этому уравнению. О х

Замечание 1. Не всякое уравнение вида определяет линию. Например, для уравнения
не существует точек, координаты, которых удовлетворяли бы этому уравнению. Такие случаи в дальнейшем рассматривать не будем. Это случай так называемых мнимых линий.

Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке
.

Для любой точки , лежащей у М

на окружности, в силу определения R

окружности как г.м.т., равноудаленных

от точки , получаем уравнение х

1.2. Параметрические уравнения линий

Существует ещё один способ задавать линию на плоскости при помощи уравнений, которые называются параметрическими :

Пример 1. Линия задана параметрическими уравнениями

Требуется получить уравнение этой линии в ДСК.

Исключим параметр t . Для этого возведём обе части этих уравнений в квадрат и сложим

Пример 2. Линия задана параметрическими уравнениями

Требуется получить уравнение

этой линии в ДСК. — а а

Поступим аналогично, тогда получим

— а

Замечание 2. Следует отметить, что параметром t в механике явля-ется время.

1.3. Уравнение линии в полярной системе координат

ДСК является не единственным способом определять положение точки и, следовательно, задавать уравнение линии. На плоскости часто целесо-образно использовать так называемую полярную систему координат (ПСК).

ПСК будет определена, если задать точку О – полюс и луч ОР, исхо-дящий из этой точки, который называется полярной осью. Тогда положение любой точки определяется двумя числами: полярным радиусом
и полярным углом – угол между