1. Уравнение линии на плоскости
Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какойлибо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.
Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f (x ) между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t. Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.
2. Уравнение прямой на плоскости
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ax + By + C = 0 , причем постоянные A , B не равны нулю одновременно, т.е.
A 2 + B 2 ≠ 0 . Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
– прямая проходит через начало координат
C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0{ By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох
B = 0, A ≠ 0,C ≠ 0{ Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
B = C = 0, A ≠ 0 – прямая совпадает с осью Оу
A = C = 0, B ≠ 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
3. Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А,В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением
Ax + By + C = 0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1,2) перпендикулярно вектору n (3, − 1) .
Составим при А=3 и В=-1 уравнение прямой: 3x − y + C = 0 . Для нахождения коэффициента
С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 − 2 + C = 0 , следовательно С=-1.
Итого: искомое уравнение: 3x − y − 1 = 0 .
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M1 (x1 , y1 , z1 ) и M2 (x2, y2 , z2 ), тогда уравнение прямой,
проходящей через эти точки: |
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
||||||||
− x |
− y |
− z |
|||||||||
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: y − y 1 = y 2 − y 1 (x − x 1 ) , если x 2 − x 1
x 1 ≠ x 2 и x = x 1 , если x 1 = x 2 .
Дробь y 2 − y 1 = k называется угловым коэффициентом прямой. x 2 − x 1
5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 привести к виду:
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
6. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор а (α 1 ,α 2 ) , компоненты которого удовлетворяют условию A α 1 + B α 2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ax + By + C = 0 .
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором а (1,-1) и проходящей через точку А(1,2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0 . В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям: 1A + (− 1) B = 0 , т.е. A = B . Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0 , или x + y + C / A = 0 . при х=1, у=2 получаем С/A=-3, т.е. искомое уравнение: x + y − 3 = 0
7. Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ax + By + C = 0,C ≠ 0 , то, разделив на –С,
получим: − |
х− |
у = 1 или |
1, где a = − |
b = − |
|||||||||
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
8. Нормальное уравнение прямой
называется нормирующем множителем, то получим x cosϕ + y sinϕ − p = 0 – нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ C < 0 .
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а ϕ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох
9. Угол между прямыми на плоскости
Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны, если k 1 = − 1/ k 2 .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 ,у1 ) и перпендикулярная к прямой y = kx + b представляется уравнением:
y − y = − |
(x − x ) |
|||||||||||
10. Расстояние от точки до прямой |
||||||||||||
Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ax + By + C = 0 |
||||||||||||
определяется как d = |
Ax0 + By0 + C |
|||||||||||
Пример. Определить угол между прямыми: y = − 3x + 7, y = 2x + 1. |
||||||||||||
k = − 3, k |
2 tg ϕ = |
2 − (− 3) |
1;ϕ = π / 4. |
|||||||||
1− (− 3)2 |
||||||||||||
Пример. Показать, |
что прямые 3 x − 5 y + 7 = 0 и 10 x + 6 y − 3 = 0 |
|||||||||||
перпендикулярны. |
Находим: k 1 = 3/ 5, k 2 = − 5 / 3, k 1 k 2 = − 1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А(0 ; 1) , B (6 ; 5) , C (1 2 ; - 1) .
Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. |
|||||||||||
Находим уравнение стороны AB : |
x − 0 |
y − 1 |
y − 1 |
; 4x = 6 y − 6 |
|||||||
6 − 0 |
5 − 1 |
||||||||||
2 x − 3 y + 3 = 0; y = 2 3 x + 1.
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + bk = − 3 2 Тогда
y = − 3 2 x + b . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: − 1 = − 3 2 12 + b , откуда b=17. Итого: y = − 3 2 x + 17 .
Ответ: 3x + 2 y − 34 = 0 .
Основные понятия
Линия на плоскости часто задается как множество точек , обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).
Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел - ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).
Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(х; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии .
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.
Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(х о; у о) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.
Пример 10.1 . Лежат ли точки К(-2;1) и Е(1;1) на линии 2х + у +3 = О?
Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2. (-2) + 1 +3 = 0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка Е не лежит на данной линии, т. к.
2·1+1+3≠0Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F 1 (х;у) = 0 и F 2 (х;у)=0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
F 1 (х;у) = 0
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.
Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.
Уравнение F(r,φ) = 0 называется уравнением данной линии в полярной системе координат , если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.
Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
где х и у - координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на данной линии, t - переменная, называемая параметром; параметр определяет положение точки (х; у) на плоскости.
Например, если х = + 1, у = t 2 , то значению параметра t 2 соответствует на плоскости точка (3; 4),
т.к. х = 2 + 1 = 3, у = 2 2 = 4.
Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (10.1) - параметрическими уравнениями линии.
Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t - скалярный переменный параметр. Каждому значению t 0 соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра t конец вектора ) опишет некоторую линию
Векторому уравнению линии в системе координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.
Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения , а линия - траекторией точки, параметр t при этом есть время .
Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(х;у) = 0.
Всякому уравнению вида F(х;у) = 0соответствует некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (могут быть и исключения).
10.1. Основные понятия
Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние - R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).
Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел - ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).
Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Переменные x и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.
Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(x 0 ; у 0) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F 1 (x 1 ;y 1) = 0 и F 2 (x 2 ;y} = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.
Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.
Уравнение F(r; φ)=О называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.
Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
где x и у - координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.
Например, если x = t + 1, у = t 2 , то значению параметра t = 1 соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. x = 1 + 1 = 3, у = 22 - 4.
Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим , а уравнения (10.1) - параметрическими уравнениями линии.
Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t.
Например, от уравнений путем подстановки t = х
во второе уравнение, легко получить уравнение у = х 2 ; или у-х 2 = 0, т. е. вида F(x; у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда возможен.
Линию на плоскости можно задать векторным уравнением r =r (t) , где t - скалярный переменный параметр. Каждому значению t 0 соответствует определенный вектор r =r (t) плоскости. При изменении параметра t конец вектора r =r (t) опишет некоторую линию (см. рис. 31).
Векторному уравнению линии r =r (t) в системе координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения. I Векторное уравнение и параметрические уравнения I линии имеют механический смысл. Если точка перемеща- I ется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия - траекторией точки, параметр t при этом есть время. Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x; у) = 0.
Всякому уравнению вида F(x; у) = 0 соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению (х-2) 2 +(у-3 ) 2 =0 соответствует не линия, а точка (2; 3); уравнению х 2 + у 2 + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).
В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение) вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.
На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.
10.2. Уравнения прямой на плоскости
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом a между осью Ох и прямой (см. рис. 41).