Критерий наличия общих корней у пары полиномов. Определение корня многочлена. Закрепление изученного материала

Определения и утверждения к 2.2 можно найти в .

Корнем многочлена называется числотакое что
.

Теорема Безу. Для любой функции
и числа
верно равенство:

где
.

Следствие. Числоявляется корнем тогда и только тогда, когда
делится на
без остатка.

Удобной для деления на многочлены вида (
) является схема Горнера. Рисуем таблицу, в первой строке которой записываем все коэффициенты
(включая нулевые).

‑ коэффициенты неполного частного от деления
на (
);‑ остаток от деления, который по теореме Безу равен
. Если= 0, то говорят, что
делится на (
) нацело и‑ корень многочлена
.

Пример 33 Разделитьна
.

Решение. Воспользуемся схемой Горнера. Нарисуем таблицу и выполним расчеты.

Итак, , где‑ коэффициенты неполного частного. Следовательно,.

Пример 34 Найти значение функции
в точке

x = ‑2.

Решение. С помощью схемы Горнера разделим
на многочлен
. При заполнении таблицы учитываем, что коэффициенты при четвертой и второй степенях, а также свободный член в многочлене равны 0.

В результате вычислений получили остаток, равный ‑8. По теореме Безу он равен значению
в точкеx = ‑2.

Ответ: {–8}.

Алгоритм деления, рассмотренный в 2.1, применим для деления на многочлен любой степени, а схема Горнера применима только для деления на (
).

1. Неприводимые многочлены

Определения и утверждения к 2.3 можно найти в . Многочлен с действительными коэффициентами
является неприводимым, если не существует многочленов
и
с действительными коэффициентами степени меньшей
, таких, что
. Т. е. неприводимый многочлен нельзя разложить в произведение многочленов меньших степеней.

Утверждение. Неприводимыми многочленами с действительными коэффициентами являются многочлены 1-й или 2-й степени с отрицательным дискриминантом, и только они.

Разложением многочлена на множители называется представление его в виде произведения неприводимых многочленов.

Основные методы разложения многочленов на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки.

2. Использование формул сокращенного умножения.

Пример 35
.

=. При разложении воспользовались формулой.

3. Метод группировки.

Пример 36 Разложить на множители многочлен
.

Группируем вместе слагаемые, содержащие множитель 5:

=
=
=

= [вынесем общий множитель за скобки] =

Пример 37 Разложить на множители многочлен
.

Группируем слагаемые, начиная с первого:

Квадратный трехчлен раскладываем на множители, найдя его корни:

. В итоге

4. Метод подбора корней.

Этот метод основан на следующих утверждениях:

Утверждение 1. Если для многочлена

числа
‑ корни, то верно равенство.

Утверждение 2. У многочлена со старшим коэффициентом, равным 1, целыми корнями могут быть только делители свободного члена.

Пример 38 Возможными целыми корнями многочлена
могут быть числа
. Методом подбора можно установить, что
и, следовательно, 1 ‑ корень многочлена.

Пример 39 Разложить на множители многочлен.

Решение. Согласно утверждению 2 возможными целыми корнями многочлена могут быть только делители числа ‑5. Это числа
. Найдем значение многочлена в точкеx = ‑ 1:

Следовательно, корнем многочлена
являетсяx = ‑1. Разделим многочлен
на (x + 1). По теореме Безу,
должен делиться на (x + 1) нацело, то есть, остаток от деления должен равняться нулю. Для деления воспользуемся схемой Горнера.

Число, получившееся в последнем столбце, позволяет проверить правильность вычислений. Если получен нуль, значит, все вычисления верны. Если число в последнем столбце отлично от нуля, значит, или корень найден неверно, или вычисления по схеме Горнера проведены неправильно.

Итак: . Поскольку получившийся в результате деления многочлен
не является неприводимым, то процесс разложения на множители необходимо продолжить. Для многочлена
возможными корнями будут числа
. Находим:. Следовательно, 1 ‑ корень многочлена
. Разделим его на (x ‑ 1) по схеме Горнера.

В последнем столбце получился нуль. Значит, вычисления верны.

Имеем: . Проверим, является ли многочлен
неприводимым. Найдем его корни по стандартной формуле:

. Так как дискриминант данного квадратного трехчлена отрицателен, он является неприводимым на множестве действительных чисел.

2 Схема Горнера

3 Функции произвольного вида

4 Нахождение корней полиномов

Список используемых информационных источников

1 Нахождение корней уравнений (Equation Section 1)

Одним из наиболее распространенных методов поиска корней уравнений является метод Ньютона и его модификации. Пусть требуется решить уравнение

Поскольку x – корень уравнения, то

Таким образом, если нам известно приближенное значение корня уравнения, то полученное уравнение позволяет его уточнить. Понятно, что процесс уточнения можно повторять многократно, до тех пор, пока значение функции не будут отличаться от нуля на величину меньшую, чем заданная точность поиска. Очередное k-е приближение находится по формуле

Ограничившись в разложении только первыми двумя членами, мы фактически заменили функцию f(x) на прямую линию, касательную в точке x0, поэтому метод Ньютона еще называют методом касательных. Далеко не всегда бывает удобно находить аналитическое выражение для производной функции. Однако, в этом и нет особой необходимости: поскольку на каждом шаге мы получаем приближенное значение корня, можно для его вычисления использовать приближенное значение производной.

В качестве малой величины

С другой стороны, для вычисления производной можно воспользоваться значениями функции, полученными на двух предыдущих шагах,

В таком виде метод называется методом секущих (secantmethod). При этом, однако, возникает проблема с вычислением первого приближения. Обычно полагают, что

Идея метода секущих развивается в методе Мюллера. Однако в этом методе для нахождения очередного приближения используются три предыдущие точки. Иными словами, метод использует не линейную, а квадратичную интерполяцию функции. Расчетные формулы метода следующие :

Знак перед корнем выбирается так, чтобы абсолютное значение знаменателя было максимальным.

Поскольку поиск корня заканчивается, когда выполнится условие

В том случае, когда известен интервал, на котором расположен корень, можно воспользоваться иными методами нахождения решения уравнения.

В методе Риддера (Ridder’smethod) вычисляют значение функции в середине интервала

Метод Брента (Brentmethod) соединяет быстроту метода Риддера и гарантированную сходимость метода деления отрезка пополам. Метод использует обратную квадратичную интерполяцию, то есть ищет x как квадратичную функцию y. На каждом шаге проверяется локализация корня. Формулы метода достаточно громоздки и мы не будем их приводить.

Особые методы применяют для поиска корней полинома. В этом случае могут быть найдены все корни. После того как один из корней полинома найден, степень полинома может быть понижена, после чего поиск корня повторяется.

Метод Лобачевского, метод приближённого (численного) решения алгебраических уравнений, найденный независимо друг от друга бельгийским математиком Ж. Данделеном, русским математиком Н. И. Лобачевским (в 1834 в наиболее совершенной форме) и швейцарским математиком К. Греффе. Суть Л. м. состоит в построении уравнения f1(x) = 0, корни которого являются квадратами корней исходного уравнения f(x) = 0. Затем строят уравнение f2(x) = 0, корнями которого являются квадраты корней уравнения f1(x) = 0. Повторяя этот процесс несколько раз, получают уравнение, корни которого сильно разделены. В случае если все корни исходного уравнения действительны и различны по абсолютной величине, имеются простые вычислительные схемы Л. м. для нахождения приближённых значений корней. В случае равных по абсолютной величине корней, а также комплексных корней вычислительные схемы Л. м. очень сложны.

Метод Лагерра (Laguerre’smethod) основывается на следующих соотношениях для полиномов

Знак перед корнем выбирают с таким расчетом, чтобы получить наибольшее значение знаменателя.

Еще один метод, который применяют для поиска корней полиномов, – метод сопровождающей матрицы (companionmatrix). Можно доказать, что матрица

называемая сопровождающей матрицей для полинома

2 Схема Горнера

Вычисление по схеме Горнера оказывается более эффективным, причем оно не очень усложняется. Эта схема основывается на следующем представлении многочлена:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Займемся общим многочленом вида:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Мы будем предполагать, что все коэффициенты an, ..., a0 известны, постоянны и записаны в массив. Это означает, что единственным входным данным для вычисления многочлена служит значение x, а результатом программы должно быть значение многочлена в точке x.

РЕФЕРАТ

Корни многочлена. Теорема Безу

Выполнили:

Студенты 1 курса группы ИМ-11

Очного отделения

Шабунин Дмитрий Олегович

Зорин Александр Сергеевич

Проверила:

Бобылева Оксана Владимировна

подпись___________________

Введение……………………………………………………………………………...3

1.Многочлены………………………………………………………………………..3

1.1.Определение многочлена………………………………………………………3

1.2.Определение корня многочлена……………………………………………….4

1.3.Схема Горнера………………………………………………………………….5

1.4.Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней……………………….7

2. Этьен Безу. Биография. Теорема Безу. Следствия из теоремы……………….13

2.1. Этьен Безу. Биогафия………………………………………………………...13

2.2. Теорема Безу………………………………………………………………….13

2.3 Следствия из теоремы Безу…………………………………………………..14

2.4. Примеры использования теоремы…………………………………………..14

Заключение………………………………………………………………………….16

Список используемых источников………………………………………………..17

ВВЕДЕНИЕ

Тема данного реферата: «Корни многочлена. Теорема Безу».

В нем мы хотим рассмотреть, что такое многочлен, что является корнем многочлена, а также рассказать про схему Горнера и теорему Безу.

В первой части мы разберем понятие многочлена, его корней и их виды и про схему Горнера. Во второй про теорему Безу.

Данная тема довольно актуальна, поскольку теорема Безу является одной из базовых теорем алгебры.

Многочлены

Понятие многочлена

Многочлен (полином) от одной переменной x – это выражение вида

где x – переменная, – коэффициенты из некоторого числового поля, n – целое неотрицательное число, а нулевое- свободный член. Отдельные слагаемые вида ……, k=0,1, …,n называются членами многочлена.

Также многочлен называют «полиномом», этот термин происходит от греческих слов «πολι» - много и «νομχ» - член.

2 члена называются подобными , если их степени равны. При этом подобные между собой члены можно преобразовать в один, т.е. привести подобные члены.

Степенью многочлена называют наибольшую среди степеней многочлена, при этом многочлен f(x)- не тождественный нуль. Обозначается эта степень deg(f).

Например:

Многочлен четвертой степени (старшая степень равна четырем);

- многочлен второй степени или квадратный (старшая степень равна двум).

При этом тождественный нуль степени не имеет.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат определенному полю (полю действительных, рациональных, комплексных чисел). Так, если выполнять над многочленом операции сложения, умножения или вычитания при помощи сочетательного, переместительного и распределительных законов, мы получаем снова многочлен.

Из вышесказанного следует, что совокупность всех многочленов с коэффициентами из данного поля Р образует кольцо Р - кольцо многочленов над данным полем, это кольцо не имеет делителей нуля, т.е. произведение многочленов, не равных нулю, не может дать нуль.

Определение корня многочлена

Элемент кольца Р называется корнем многочлена f(x) ∈ Р , если f( )= 0. Другими словами, число является корнем многочлена f(x), если в выражение

мы подставим , тогда получим

Таким образом, при подстановке вместо число получается верное выражение. Это означает, что число является корнем равенства f(x)=0.

Поэтому корень многочлена f(x) и корень соответствующего уравнения f(x)=0 по сути одно и то же.

К примеру, найдём корень многочлена f(x)=3 -10+3

Данное выражение является квадратным поэтому для нахождения корня многочлена нам необходимо решить следующее уравнение

3 -10х+3=0.

Для этого необходимо рассмотреть алгоритм решения квадратных уравнений.

§ 13. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел 165

13.1. Основные определения 165

13.2. Основные свойства целых многочленов 166

13.3. Основные свойства корней алгебраического уравнения 169

13.4. Решение основных алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел 173

13.5. Упражнения для самостоятельной работы 176

Вопросы для самопроверки 178

Глоссарий 178

1. Основные определения

Целой алгебраической функцией илиалгебраическим многочленом (полиномом )аргумента x называется функция следующего вида

Здесьn –степень многочлена (натуральное число или 0),x – переменная (действительная или комплексная),a 0 , a 1 , …, a n –коэффициенты многочлена (действительные или комплексные числа),a 0  0.

Например,

;
;
,
– квадратный трехчлен;

,
;.

Числох 0 такое, чтоP n (x 0)0, называетсянулем функции P n (x ) иликорнем уравнения
.

Например,

его корни
,
,
.

так как
и
.

Замечание (к определению нулей целой алгебраической функции)

В литературе часто нули функции
называются ее корнями. Например, числа
и
называются корнями квадратичной функции
.

1. Основные свойствацелых многочленов

 Тождество (3) справедливо при x 
(илиx  ), следовательно, оно справедливо при
; подставляя
, получима n = b n . Взаимно уничтожим в (3) слагаемые а n и b n и поделим обе части на x :

Это тождество тоже верно при x , в том числе при x = 0, поэтому полагая x = 0, получим а n – 1 = b n – 1 .

Взаимно уничтожим в (3") слагаемые а n – 1 и b n – 1 и поделим обе части на x , в результате получим

Аналогично продолжая рассуждение, получим, что а n – 2 = b n –2 , …, а 0 = b 0 .

Таким образом, доказано, что из тождественного равенства двух целых многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x .

Обратное утверждение справедливо очевидно, то есть если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, определенные на множестве
, следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента
, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью.

Пример (тождественное равенство многочленов)

.

 Запишем формулу деления с остатком: P n (x ) = (x – х 0)∙Q n – 1 (x ) + A ,

где Q n – 1 (x ) - многочлен степени (n – 1), A - остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».

Это равенство верно при x , в том числе при x = х 0 ; полагая
, получим

P n (x 0) = (x 0 – x 0)Q n – 1 (x 0) + A  A = P n (х 0) 

Следствием доказанного свойства является утверждение о делении без остатка многочлена на двучлен, известное как теорема Безу.

 Доказательство теоремы Безу можно провести без использования ранее доказанного свойства о делении целого многочлена
на двучлен
. Действительно, запишем формулу деления многочлена
на двучлен
с остатком А=0:

Теперь учтем, что - это нуль многочлена
, и запишем последнее равенство при
:

Примеры (разложение многочлена на множители с использованием т. Безу)

1) ,так какP 3 (1)0;

2) ,так какP 4 (–2)0;

3) ,так какP 2 (–1/2)0.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом P n (x ):

после n -кратного применения этих теорем получим, что

где a 0 - это коэффициент приx n в записи многочленаP n (x ).

Если в равенстве (6)k чисел из наборах 1 ,х 2 , …х n совпадают между собой и с числом, то в произведении справа получается множитель (x –) k . Тогда числоx =называетсяk-кратным корнем многочлена P n (x ) , или корнем кратности k . Еслиk = 1, то число
называетсяпростым корнем многочлена P n (x ) .

Примеры (разложение многочлена на линейные множители)

1) P 4 (x ) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - простой корень, x 2 = 4 - трехкратный корень;

2) P 4 (x ) = (x – i ) 4  x = i - корень кратности 4.

Цели урока:

• научить учащихся решать уравнения высших степеней используя схему Горнера;
• воспитывать умение работать в парах;
• создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
• помочь ученику оценить свой потенциал, развивать интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: карточки для работы в группах, плакат со схемой Горнера.

Метод обучения: лекция, рассказ, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач самостоятельного решения, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

Какая теорема позволяет определить, является ли число корнем данного уравнения (сформулировать теорему)?

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен Р(с), число с называют корнем многочлена Р(х), если Р(с)=0. Теорема позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

Какие утверждения облегчают поиск корней?

а) Если старший коэффициент многочлена равен единице, то корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена.

б) Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то один из корней равен 1.

в)Если сумма коэффициентов стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней равен -1.

г) Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.

д) Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Изучение нового материала

При решении целых алгебраических уравнений приходиться находить значения корней многочленов. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера. Эта схема названа в честь английского ученого Уильяма Джорджа Горнера. Схема Горнера это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена Р(х) на х-с. Кратко, как он устроен.

Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=а 0 х n + а 1 х n-1 + …+ а n-1 х+ а n . Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х). Частное g(х)=в 0 х n-1 + в n х n-2 +…+в n-2 х + в n-1 , где в 0 =а 0 , в n =св n-1 +а n , n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= св n-1 +а n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

Число, которое после выполнения алгоритма оказывается записанным в правой нижней клетке, и есть остаток от деления многочлена Р(х) на х-с. Другие числа в 0 , в 1 , в 2 ,… нижней строки являются коэффициентами частного.

Например: Разделить многочлен Р(х)= х 3 -2х+3 на х-2.

Получаем, что х 3 -2х+3=(х-2) (х 2 +2х+2) + 7.

4. Закрепление изученного материала

Пример 1: Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен Р(х)=2х4-7х 3 -3х 2 +5х-1.

Ищем целые корни среди делителей свободного члена -1: 1; -1. Составим таблицу:

X = -1 – корень

Р(х)= (х+1) (2х 3 -9х 2 +6х -1)

Проверим 1/2.

Следовательно, многочлен Р(х) можно представить в виде

Р(х)= (х+1) (х-1/2) (х 2 -8х +2) = (х+1) (2х -1) (х 2 - 4х +1)

Пример 2: Решить уравнение 2х 4 - 5х 3 + 5х 2 - 2 = 0

Так как сумма коэффициентов многочлена, записанного в левой части уравнения, равна нулю, то один из корней 1. Воспользуемся схемой Горнера:

Получаем Р(х)=(х-1) (2х 3 -3х 2 =2х +2). Будем искать корни среди делителей свободного члена 2.

Выяснили, что целых корней больше нет. Проверим 1/2; -1/2.

Ответ: 1; -1/2.

Пример 3: Решить уравнение 5х 4 – 3х 3 – 4х 2 -3х+ 5 = 0.

Корни данного уравнения будем искать среди делителей свободного члена 5: 1;-1;5;-5. х=1 - корень уравнения, так как сумма коэффициентов равна нулю. Воспользуемся схемой Горнера:

уравнение представим в виде произведения трех множителей: (х-1) (х-1) (5х 2 -7х + 5)=0. Решая квадратное уравнение 5х 2 -7х+5=0, получили Д=49-100=-51, корней нет.

Карточка 1

1. Разложите на множители многочлен: х 4 +3х 3 -5х 2 -6х-8
2. Решите уравнение: 27х 3 -15х 2 +5х-1=0

Карточка 2

1. Разложите на множители многочлен: х 4 -х 3 -7х 2 +13х-6
2. Решите уравнение: х 4 +2х 3 -13х 2 -38х-24=0

Карточка 3

1. Разложите на множители: 2х 3 -21х 2 +37х+24
2. Решите уравнение: х 3 -2х 2 +4х-8=0

Карточка 4

1. Разложите на множители: 5х 3 -46х 2 +79х-14
2. Решите уравнение: х 4 +5х 3 +5х 2 -5х-6=0

5. Подведение итогов

Проверка знаний при решении в парах осуществляется на уроке путем узнавания способа действия и названия ответа.

Домашнее задание:

Решите уравнения:

а) х 4 -3х 3 +4х 2 -3х+1=0

б) 5х 4 -36х 3 +62х 2 -36х+5=0

в) х 4 +х 3 +х+1=4х 2

г) х 4 +2х 3 -х-2=0

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и начала анализа 10 класс (углубленное изучение математики): Просвещение, 2005.
2. У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007.
3. С.Б. Гашков, Системы счисления и их применение.