Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб Устойчивость стоек при упругом и неупругом поведении материала

в сопротивлении материалов, Изгиб первоначально прямолинейного стержня под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил вследствие потери им устойчивости. В упругом стержне постоянного сечения различным формам потери устойчивости соответствуют критические значения сжимающих сил где Е - модуль упругости материала стержня, I - минимальное значение осевого момента инерции поперечного сечения стержня, l - длина стержня, - - коэффициент приведённой длины, зависящий от условий закрепления концов стержня, n - целое число. Практический интерес обычно представляет минимальное значение критической силы. В случае шарнирно опёртого стержня (? = 1) такая сила вызывает изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной (n = 1); она определяется формулой Эйлера (F - площадь поперечного сечения стержня), соответствующее критической силе, называется критическим. Если величина критического напряжения превышает предел пропорциональности материала стержня, то потеря устойчивости происходит в зоне пластических деформаций. Тогда наименьшая критическая сила определяется формулой Т - модуль Энгессера - Кармана, характеризующий зависимость между деформациями и напряжениями за пределами упругих деформаций.

При расчёте конструкций учёт П. и. сводится к снижению для сжатых стержней величин расчётных напряжений.

Лит. см. при ст. Сопротивление материалов.

Л. В. Касабьян.

Ссылки на страницу

• Прямая ссылка: http://сайт/bse/63427/;
• HTML-код ссылки: Что означает Продольный изгиб в Большой Советской Энциклопедии;
• BB-код ссылки: Определение понятия Продольный изгиб в Большой Советской Энциклопедии.

5. Сдвиг и смятие

Сдвиг – это такой вид деформации, когда в поперечном сечении возникает один внутренний силовой фактор – поперечная сила.

Деформация, при которой происходит искажение прямых углов элементарного параллелепипеда, называется деформацией сдвига (рис. 29, 30).

Рис. 29 Рис. 30

Сдвиг характеризуется двумя параметрами:

1) а – линейное смещение одного сечения относительно другого называется абсолютным сдвигом ;

2) угол γ, на который изменяется прямой угол элементарного параллелепипеда называется относительным сдвигом :

Сдвиг вызывает касательные напряжения

Величина сдвига в пределах упругих деформаций пропорциональна сдвигающей силе Q , расстоянию h , на котором происходит сдвиг, и обратно пропорциональна площади сечения А .

Закон Гука (1-я форма) для сдвига – касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу

Коэффициент G называется модулем сдвига или модулем упругости II рода.

Закон Гука (2-я форма) для сдвига – абсолютный сдвиг прямо пропорционален внутренней силе, ширине элемента и обратно пропорционален жесткости при сдвиге.

GA – жесткость при сдвиге.

Расчетное уравнение при сдвиге:

Смятие – проникновение более твердого тела в менее твердое.

Расчетное уравнение при смятии:

Различают три типа расчетов:

– проверочный – проверка прочности соединения:

– проектный – определение прочностных размеров сечения;

– определение величины допускаемой нагрузки.

6. Кручение

Крутящим моментом в поперечном сечении бруса называется результирующий момент внутренних касательных сил, равный сумме моментов внешних сил, действующих на рассматриваемую часть бруса.

Крутящий момент считается положительным , если наблюдатель со стороны отброшенной части видит вращение вала против хода часовой стрелки, отрицательным – по ходу часовой стрелки.

Закон Гука при кручении – касательное напряжение в произвольном волокне вала прямо пропорционально расстоянию этого волокна до оси.

Результирующий крутящий момент в сечении:

J р – полярный момент инерции площади сечения.

Полярным моментом инерции площади сечения называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до оси, перпендикулярной плоскости сечения.

Касательное напряжение в произвольном волокне вала при кручении:

Полярным моментом сопротивления площади сечения называется отношение полярного момента инерции к расстоянию наиболее удаленного волокна до оси.

Расчет вала на прочность – определение его диаметра из условия, что максимальное касательное напряжение не превышает допускаемое.

Расчет вала на жесткость –определение его диаметра из условия, что угол закручивания вала не превышает допускаемого угла закручивания:

7. Поперечный изгиб

Поперечный изгиб – это такой вид деформации, когда силы, действующие на брус, лежат в плоскости симметрии поперечного сечения и перпендикулярны оси бруса (сосредоточенные силы, равномерно распространенная нагрузка, сосредоточенный момент).

Проведем в балке сечение I–I, отбросим правую часть и заменим ее действие на левую внутренними силами Q и М (рис. 32).

Результирующий момент внутренних растягивающих и сжимающих сил в поперечном сечении балки называется изгибающим моментом в данном сечении М .

Q – результирующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки называется поперечной силой в данном сечении.

Итак, в поперечном сечении балки при изгибе возникает два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент .

Изгибающий момент в поперечном сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, взятых относительно рассматриваемого сечения балки. При определении знака изгибающего момента используется следующее правило. Изгибающий момент положителен, если под действием внешней силы балка изгибается выпуклостью вниз (полная чаша); отрицателен, если выпуклостью вверх (опрокинутая чаша) (рис. 34, 35).

7.1. Контроль правильности построения эпюр (рис. 36)

1. Участок балки, на котором нет равномерно распределенной нагрузки (q = 0), – эпюра поперечных сил представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Эпюра изгибающих моментов представляет собой наклонную прямую линию.

2. Участок балки, где q = const, эпюра поперечной силы есть наклонная прямая линия; эпюра изгибающего момента – парабола.

3. Участок балки, где действует равномерно распределенная нагрузка; эпюра поперечной силы обращается в ноль, а эпюра изгибающего момента имеет экстремальное значение.

4. В шарнирах двухопорной балки эпюры поперечных сил в этих точках равны опорным реакциям, а эпюры изгибающих моментов, если не приложен сосредоточенный момент, равны нулю.

5. Если приложена сосредоточенная сила, то на эпюре «Q » происходит скачок на величину этой силы, а на эпюре «М » – излом.

6. Если в точке приложен сосредоточенный момент – пара сил, то на эпюре изгибающего момента происходит скачок на величину этого момента, на эпюре поперечных сил это не отражается.

7.2. Абсолютная и относительная деформация

Закон Гука. Расчетное уравнение при изгибе

Относительная продольная деформация при изгибе прямо пропорциональна расстоянию волокна до оси:

Закон Гука при изгибе – нормальное напряжение прямо пропорционально расстоянию волокна до нейтральной оси.

Основные уравнения теории изгиба:

– кривизна балки (нейтральной оси балки).

EJ x – жесткость балки при изгибе.

Кривизна балки – прямопропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости балки при изгибе.

Расчетное уравнение при изгибе на прочность где W x – осевой момент сопротивления.

Осевым моментом сопротивления площади сечения называется отношение момента инерции к расстоянию наиболее удаленного волокна до оси.

8. Продольный изгиб

Сущность явления продольного изгиба.

Формула Эйлера. Критическое напряжение

Внезапное искривление прямолинейной оси стержня под действием сжимающей силы называется продольным изгибом или устойчивостью стержня (рис. 14).

Сила, при которой происходит внезапное искривление оси стержня называется критической или Эйлеровой силой .

Формула Эйлера: где – размеры поперечного сечения.

– приведенная длина стержня,

– коэффициент приведения длины стержня, который зависит от способа закрепления концов стержня.

Критическое напряжение:

– радиус инерции поперечного сечения стержня.

Радиусом инерции площади поперечного сечения называется величина, которая, будучи возведена в квадрат и умножена на площадь поперечного сечения, дает момент инерции площади сечения.

Гибкостью стержня называется отношение приведенной длины стержня к минимальному радиусу инерции:

Критическое напряжение техническая Е) технологическая 115. Подход...

Продольный изгиб конструкции в целом. Редукция механизма разрушения. Определение пластического механизма разрушения при продольном изгибе является весьма трудоемкой задачей, которая решена лишь для некоторых отдельных случаев.
В связи с наличием начальных несовершенств в конструкции с самого начала нагружения появляются перемещения, которые оказывают влияние на ее напряженное состояние. При этом процесс пластификации существенно отличается от такого процесса, когда не учитывается деформированная схема, и в этом случае конструкция разрушается, при образовании механизма с меньшим числом шарниров.
Рассмотрим, например, раму, показанную на рис. 4.1, а. Принимаем, что нагрузка возрастает пропорционально одному параметру и пластическая несущая способность конструкции будет достигнута при силах, которые в раз больше приведенных на рисунке.
Если не учитывать влияние продольного изгиба, го на основе одного из методов пластического расчета можно определить механизм разрушения исследуемой рамы; в этом случае получим десять пластических шарниров (рис. 4.1, б). При значениях нагрузок, показанных на рис. 4.1, а, соответствующая несущая способность характеризуется коэффициентом безопасности Spl=2,15.
Однако продольный изгиб существенно изменяет работу рамы. Из расчетов Вуда, выполненных на дифференциальном анализаторе, следует, что для сечений, показанных на рис. 4.1, а (двутавровые профили с обозначениями английского стандарта на прокат), в первую очередь образуются пластические шарниры 1 и 2 (рис. 4.1, с) при коэффициенте безопасности S=1,8. Кроме того, появляются отдельные зоны текучести в середине первого, второго и четвертою ригелей. При возрастании нагрузки до значения, определяемого коэффициентом безопасности S=1,9, образуются новые пластические шарниры в сечениях 3 и 4 (рис. 4.1, с), и конструкция начнет течь в других зонах.

Поскольку при этой нагрузке в раме появляются весьма большие перемещения, значение SplVZ=1,9 можно принять за коэффициент безопасности для пластической несущей способности системы с учетом продольного изгиба.
В этом случае для разрушения рамы достаточно появления всего четырех пластических шарниров, т.е. на шесть меньше, чем по сравнению с классическим механизмом разрушения без учета продольного изгиба. Снижение несущей способности за счет продольного изгиба составляет 11,6%.
С редукцией механизма разрушения связано ограничение естественного перераспределения изгибающих моментов, которые выравниваются лишь частично.
Как отмечалось выше, продольный изгиб может существенно изменить работу системы. Однако наиболее распространенные стальные конструкции обычно имеют такие конструктивные решения, при которых влияние продольного изгиба может быть ослаблено, а иногда и вообще исключено.
Системы часто раскреплены жесткими элементами, какими, например, являются шахты лифтов, лестничные клетки и другие подобные конструкции.
Совместная работа легких стальных конструкций и жесткого, большей частью железобетонного, ядра очень часто используется в современных жилых, административных и других зданиях. Иногда конструкция пристраивается к другому объекту, который обеспечивает устойчивость пристройки. Жесткость конструкции увеличивают также перекрытия, покрытия и стены, которые совместно с несущими рамами составляют жесткую пространственную систему. В этом случае несущие рамы не работают отдельно, как это предполагается в статическом расчете, а как пространственный каркас совместно с другими элементами объекта.
Для схемы шарнирного опирания конструктивное решение шарнира существенно отличается от шарнира теоретического, который предполагает свободный поворот. При этом в действительности имеем упругое защемление, в некоторых случаях достаточно близкое к полному защемлению, в связи с чем жесткость конструкции увеличится, и распределение изгибающих моментов будет более благоприятным. При достаточной высоте стены сами несут собственный вес, облегчая ригели рам и загружая непосредственно колонны. Измерения на построенных зданиях показывают, что для ригелей рам, загруженных весом кирпичных стен, изгибающий момент составляет G1l/11 для одного ряда кирпича; G2l/27 - при высоте кладки 1,5 м; G3l/132 при высоте 4 м (где Gi - соответствующий вес кладки, l - пролет ригеля). Уменьшение изгибающих моментов в середине пролета уменьшает влияние продольного изгиба.

С учетом изложенного влияние продольного изгиба можно не учитывать и расчеты выполнять согласно рекомендациям данным далее для конструкций, которые присоединены к другим, достаточно жестким объектам (рис. 4.2, а); для конструкций с жестким ядром, выполненным из железобетона или стальных связей (рис. 4.2, с); для конструкций с жесткой системой колонн, кровли и стен, которые совместно с несущими рамами или дополнительными связями (жесткостями) образуют жесткую пространственную систему.
В остальных случаях необходимо рассматривать устойчивость с учетом деформированной схемы. Однако даже для самых распространенных схем этот метод допускает решения только для некоторых случаев; при этом требуется применение ЭВМ с большой памятью. Поэтому приводятся приближенные решения, которые помогут проектировщику получить достаточно точные результаты.
Формула Мерчанта - Ранкина. Предельную нагрузку конструкций, рассчитываемых за пределом упругости с учетом влияния продольного изгиба, приближенно можно определить по формуле

Формула (4.1) рекомендована Мерчантом, который теоретические решения продольного изгиба рам дополнил многочисленными сопоставленными испытаниями на моделях. На рис.4.3 показано сравнение расчетов по формуле (4.1) с экспериментальными данными Мерчанта. Почти все экспериментальные результаты находятся выше значений, вычисленных по формуле (4.1), так что формула является достаточно надежной.

Поскольку формула (4.1) аналогична формуле Ранкина для продольного изгиба стержней, ее называют формулой Мерчанта - Ранкина.
Наибольшая допустимая гибкость колонн. Установим значение характеристик сечении колонн рам, при которых влияние устойчивости можно не учитывать. В качестве характерного параметра примем гибкость колонн в плоскости рамы.
В металлостроительстве применяются самые разнообразные рамы, для расчета которых необходим различный подход. Учитывая современное состояние в области устойчивости неупругих рам, сделать это практически невозможно. Поэтому пока необходимо исключить подобный расчет для систем, поведение которых с учетом продольного изгиба еще не изучено, а в остальных случаях разработать рекомендации для расчета на основе рассмотрения отдельных характерных рам того или иного класса систем.
Для дальнейшего исследования в качестве характерной принимаем одноэтажную однопролетную раму, показанную на рис. 4.4, а. Эта схема дает некоторый запас надежности, так как рассмотрение одного или нескольких пролетов с учетом малой вероятности одновременного совпадения самых неблагоприятных факторов, вообще говоря, увеличивает устойчивость конструкции. Следующей предпосылкой в запас надежности является то, что будем рассматривать рамы, колонны которых имеют шарнирное опирание, в то время как заделка, даже частичная, значительно увеличивает общую жесткость конструкции. Далее будем предполагать, что рама загружена двумя силами P, действующими на ригель симметрично по отношению к оси симметрии рамы.
Если бы система не была подвержена продольному изгибу, то она разрушилась бы в результате образования механизма с двумя шарнирами (рис. 4.4, b).

Боковое отклонение рамы изменяет ее напряженное состояние. Например, при отклонении вправо нагрузка на узел В уменьшается, и пластический шарнир в нем не возникнет, и наоборот, узел С будет при этом перегружен, и поворот в соответствующем пластическом шарнире увеличится.
Пластический шарнир в сечении С представим в виде обычного шарнира, что также приведет к запасу надежности. После этого перенесем силы P в узлы В и C, что несколько уменьшает надежность, однако вполне компенсируется указанными выше предпосылками.
С учетом сделанных допущений рассмотрим продольный изгиб трехшарнирной рамы (рис. 4.4, с), загруженной двумя силами P в узлах В и С. Решение можно представить в следующем виде:


Для исследуемой рамы зависимость (4.2) показана на рис. 4.5 для значений Isl/Ipb=0,5 и 2,5. Для промежуточных значений разрешается линейная интерполяция. В запас надежности эти кривые можно заменить линейной зависимостью следующего вида:

Прямая, соответствующая формуле (4.3), на рис. 4.5 дана штриховой линией. Поскольку λх=l/ix, влияние продольного изгиба при пластическом проектировании можно не учитывать, если выполняется условие

Очевидно, что эту формулу можно применять только для N≤Npl, так как при N→0,5/Npl требуемое значение радиуса инерции чрезмерно возрастает.
Формулы (4.3) и (4.4) можно принять в качестве основы для расчета всех одноэтажных, а с учетом предпосылок в запас надежности - также двухэтажных рам. Эти формулы включены в ряд зарубежных норм по расчету стальных конструкций за пределом упругости и их можно использовать, пока не будут получены более точные результаты расчета рам на продольный изгиб. Необходимо отметить, что требование ЧСН 73 1401/1976 о том, чтобы при пластическом проектировании предельная гибкость сжатых и сжато изгибаемых стержней равнялась λ≤120√210/R, относится только к одиночным стержням и не распространяется на устойчивость систем в целом. Если при проектировании конструкций не учитывать устойчивость, то необходимо ограничить гибкость колонн согласно формуле (4.3).

Продольный изгиб отдельного стержня. Неполный пластический шарнир. Рассмотрим продольный изгиб стержня, нагруженного продольной силой N и моментами на концах M1 и M2 (рис. 4.6, а); при этом М1≥M2. Принимаем, что направления действия моментов на рисунке положительны.
Предположим вначале, что М1=M2=М. В этом случае имеем внецентренное сжатие стержня с постоянными эксцентриситетами е=M/N на концах (рис. 4.6,b).
Исследуем изгиб стержня в плоскости симметрии сечения. Наибольший изгибающий момент возникает в середине длины стержня. При некотором значении продольной силы в крайних вогнутых волокнах срединного сечения появляется текучесть материала. При увеличении нагрузки область текучести распространяется по длине стержня и в глубину сечения; затем появляется другая область текучести с выпуклой стороны стержня. Обычно при разрушении внецентренно сжатого стержня появляется неполный шарнир пластичности в отличие от полного пластического шарнира при изгибе.

Вид неполного шарнира (рис. 4.7) определяется размерами стержня и долей изгибающего момента в его напряженном состоянии. Стержни большой и средней гибкости с малыми эксцентриситетами разрушаются, как показано на рис. 4.7, а, когда область появления пластических деформаций возникает только с вогнутой стороны стержня. Для стержней большой гибкости с большими эксцентриситетами односторонние пластические области распространены по всей длине стержня (рис. 4.7, b). Неполный пластический шарнир для стержня меньшей гибкости и с меньшим эксцентриситетом показан на рис. 4.7, с, при этом пластические области находятся в средней части стержня с выпуклой и вогнутой сторон. Несущая способность стержней при продольном изгибе средней и малой гибкости при большом эксцентриситете будет достигнута в том случае когда область течения материала с вогнутой стороны распространится на всю длину стержня, в то время как с выпуклой стороны она будет ограничена только в его средней части (рис. 4.7, a). Наконец, стержни малой гибкости с большими эксцентриситетами разрушаются, когда пластические области с выпуклой и вогнутой сторон распространяются на всю длину стержня (рис. 4.7, е).
На основе изложенного выше можно отметить следующие закономерности. С увеличением гибкости стержня неупругие области при его разрушении сосредотачиваются в середине длины. С увеличением эксцентриситета области текучести материала появляются не только с вогнутой, но также и с выпуклой стороны стержня. Этот результат понятен, так как с возрастанием гибкости стержня увеличивается влияние изгиба от продольной силы N, что приводит к большой неравномерности распределения изгибающего момента от перемещений. С возрастанием эксцентриситета нагрузки увеличивается влияние начального изгибающего момента M на напряженное состояние стержня, который по своей работе приближается к работе изгибаемой балки с одинаково напряженными волокнами с вогнутой и выпуклой сторон. Полный пластический шарнир может возникнуть только у стержней, имеющих небольшие гибкости, когда влияние продольного изгиба несущественно.
Рассмотрим теперь изгиб сжатого стержня с неодинаковыми концевыми моментами M1 и M2, эквивалентного по схеме внецентренно сжатому стержню с разными эксцентриситетами e1 и e2 на концах (рис. 4.6, с). В этом случае изогнутая ось стержня несимметрична, тем больше, чем больше отношение моментов M2/M1 отличается от + 1,0.
При M1=-M2 стержень изгибается в виде двух антисимметричных полуволн. При такой форме изогнутой оси наиболее напряженное сечение смещается в направлении к большему концевому моменту, вплоть до крайнего сечения стержня. Положение наиболее напряженного сечения является функцией сжимающей силы N. При достаточно малом ее значении угол φ≤ψ, и наиболее напряженным является сечение на конце стержня. В этом случае изгибающий момент М1 при деформации стержня не увеличивается, влияние продольного изгиба не проявляется и стержень разрушится, когда в этом сечении появится полный пластический шарнир.

При других соотношениях концевых моментов М1 и M2 при разрушении стержня появится неполный пластический шарнир и в этом случае при расчете стержня решающим является продольный изгиб. С уменьшением отношения m=M2/M1 несущая способность стержня при продольном изгибе увеличивается.
Плоский продольный изгиб идеального стержня. Идеальным называется стержень без каких бы то ни было начальных несовершенств, из однородного материала без собственных (остаточных) напряжений, абсолютно прямой, с силой, действующей строго по центру тяжести сечения стержня.
Рассмотрим шарнирно закрепленный на концах идеальный стержень, нагруженный продольной силой N и концевыми моментами М1 и M2. Задача заключается в том, чтобы при известных длине и сечении стержня, а также значении продольной силы определить, какие концевые моменты M1 и M2 (с их отношением m=M2/M1) вызывают исчерпание несущей способности при продольном изгибе.
Существует ряд решений этой задачи. Одно из них приведено в работе и основано на следующих предпосылках:
1) изолированный стержень, нагруженный продольной силой и концевыми моментами и изгибается в плоскости действия моментов, которая совпадает с плоскостью симметрии сечения стержня; пространственный продольный изгиб при этом исключается;
2) стержень изготовлен из американской стали А7, соответствующей нашим сталям класса 37, и ее диаграмма работы может быть представлена упрощенно в виде диаграммы Прандтля;
3) стержень имеет постоянное сечение;
4) в начальном состоянии стержень является совершенно прямым;
5) в сечении имеются собственные напряжения, показанные на рис. 4.8 (это является отступлением от принятого определения идеального стержня);
6) поперечные сечения остаются плоскими и после изгиба стержня; перемещения стержня малы.
Авторы работы выполнили численными методами исследования для американского широкополочного двутаврового сечения 8WF31, которое было принято из-за низкого коэффициента формы сечения f=Z/W=1,1. Необходимо отметить, что для обычных сечений при f≥1,1 полученные результаты имеют некоторый запас надежности. Процесс последовательных аппроксимаций при решении задачи был весьма трудоемким и длительным.

Рис. 4.9 показывает, при каких значениях момента М1, продольной силы N, гибкости λх и отношения m=M2/M1 происходит разрушение стержня. При заданных величинах N/Npl и λx значение M1/Mpl существенно увеличивается при уменьшении m. Чем меньше отношение m, тем больше несущая способность стержня, при продольном изгибе. При m=-1, т.е. когда на концах стержня действуют равные моменты одного и того же знака, при N≤0,6 Npl и λx≤120 продольный изгиб практически можно не учитывать.
Пространственный продольный изгиб идеального стержня. Исследование несущей способности стержня при пространственном продольном изгибе является во много раз более трудной задачей, чем при плоском продольном изгибе. Точное решение задачи весьма трудоемко и длительно, в связи с чем в практических расчетах используются более простые приближенные формулы, учитывающие совместное влияние различных факторов. При этом, однако, рассматривается несущая способность стержня при продольном изгибе и учитываются только критические напряжения, при которых происходит потеря устойчивости стержня из плоскости действия моментов при изгибно-крутильных деформациях. Поэтому действительный пластический резерв несущей способности стержня при таком подходе не может быть реализован.
Для упругого идеального стержня открытого сечения, сжатого продольной силом N и нагруженного постоянным изгибающим моментом M, действующим в плоскости, перпендикулярной оси поперечного сечения классическая приближенная формула при совместном их действии имеет следующий вид:

Формула (4.5) удовлетворяет граничным случаям, поскольку для центрально сжатого и изгибаемого стержня выполняются отношения

В классическом виде (4.5) эта формула взаимодействия не учитывает влияние изгиба на критические напряжения. В действительности стержень изгибается с самого начала нагружения моментом M в плоскости его действия, причем изгиб еще больше увеличивается в результате действия сжимающей силы N.
В связи с этим в формуле взаимодействия (4.5) необходимо уточнить значение изгибающего момента

Выше рассматривались стержни, нагруженные продольной сжимающей силой N и постоянным изгибающим моментом М. Рассмотрим теперь стержень, на который кроме продольной силы N действуют разные концевые моменты M1 и М2 (M1 - больший из них). В этом случае расчет может быть приведен к основной задаче продольного изгиба стержня с постоянным моментом путем введения эквивалентного изгибающего момента M*. Значение M* определяется из условия, что критическое напряжение стержня, загруженного продольной силой N и разными моментами М1 и M2, равно критическому напряжению того же стержня, на который действует сила N и постоянный эквивалентный момент М*.
Вопросом определения М* занимался ряд исследователей. Наиболее распространенной является формула Maccoно

Исследуем теперь продольный изгиб рассмотренного стержня в неупругом состоянии. В этом случае часто применяют приближенную формулу, аналогичную формуле (4.7), причем вместо Ncr и Mcr подставляют критическую силу Npl,cr и момент Mpl,cr неупругого стержня. Обоснованием для такого подхода являются экспериментальные исследования, основные результаты которых приведены далее.
Определение критических значений Ncr и Mcr является классической задачей устойчивости, которая хорошо изложена в специальной литературе. В неупругой стадии часто используют подход Энгессера - Шенли, который предполагает возрастание нагрузки во время потери устойчивости, в связи с чем не учитывается разгрузка. Формулы для критических парам даются в справочниках, в частности, где приведены формулы для критических сил и моментов в зависимости от вида нагрузки на стержень и закрепления его концов, а также многочисленные таблицы и графики, которые облегчают расчет.
Формулу взаимодействия (4.7), в которой Ncr=Npl,cr и Mcr=Mpl,cr, можно преобразовать таким образом, чтобы она позволяла сразу вычислять допустимые концевые моменты M1 и M2=mM1. Если подставить M* из формул (4.9) или (4.10) в формулу (С7) и выразить пластический критический момент в виде Mpl,cr=kMpl, после преобразований получим

Выше был рассмотрен пространственный продольный изгиб тонкостенных стержней с открытым контуром сечения. Стержни с замкнутым профилем или достаточно жестким недеформируемым сечением имеют существенно большую жесткость при кручении. Поэтому для обычных сечений в этих случаях пространственный продольный изгиб можно не учитывать и выполнять проверку устойчивости только в плоскости наименьшей жесткости стержня. Исключение составляют высокие замкнутые сечения при h≥10b (h - высота, b - ширина поперечного сечения), которые сравнительно редко применяются в стальных конструкциях.
Экспериментальная проверка формул для идеальных стержней. Приближенное теоретическое решение рассматриваемой задачи приведено ранее. Сравним получаемые результаты с данными экспериментальных исследований внецентренно сжатых стержней.
Рассмотрим вначале случай плоского продольного изгиба. На рис. 4.10 дано сравнение теоретических решений с результатами испытаний Maccoнэ, Фишера и Винтера показанными на рисунке крестиками и кружками. При этом учитывался действительный предел текучести. Испытывались стержни, нагруженные в плоскости наименьшей жесткости, которые фактически разрушались в результате плоского продольного изгиба; схема стержня и сечения приведены на рис. 4.10. Как видно из рисунка, теоретические результаты довольно близки к экспериментальным, последние в большинстве случаев немного превышают теоретические. Это и понятно, так как значения коэффициентов формы сечения испытываемых стержней были большими, чем принятые в теоретических решениях f=(1,17-1,25)/1,1, а фактические собственные напряжения оказались меньше принятых авторами, т.е. σ"0=0,23σfl≤0,3σfl.

В США испытывались стержни из широкополочных двутавров, нагруженные, как показано на рис. 4.11, а, и закрепленные таким образом, чтобы исключить пространственный изгиб. Результаты испытаний сравнивались с теоретическими кривыми Галамбоша и Кеттер. Сравнение показывает в целом хорошую сходимость (рис. 4.11 , b-d), за исключением стержня Т13, для которого экспериментальный результат получился выше. Это различие можно объяснить малой гибкостью стержня, незначительным влиянием продольной силы N на общую напряженность стержня и, по-видимому, работой материала в зоне самоупрочнения.
В случае пространственного продольного изгиба необходимо проверить приближенные формулы (4.12) или (4.14). Приведем результаты испытаний Хилла, Гартмана и Кларка, которые испытали большое число стержней из легких сплавов двутаврового и H-образного сечений, а также стержней с сечением из круглых труб при плоском продольном изгибе. Сравнение экспериментальных данных с результатами, полученными по формуле взаимодействия (4:5), показано на рис. 4.12,а дли плоского продольного изгиба зачерненными кружками; для пространственного продольного изгиба белыми кружками. Как видно из рис. 4.12, я,безопасность расчетов по формуле (4.5) не обеспечивается. Что касается результатов, полученных по формуле (4.7), то они значительно лучше соответствуют экспериментальным данным, в особенности для пространственного продольного изгиба. Некоторые точки в этом случае лежат ниже теоретической прямой, что можно объяснить влиянием начальных отклонений, которые приближенные формулы для идеального стержня не учитывают. Безопасность расчетов можно получить только при расчете реального стержня, имеющего неизбежные начальные несовершенства.


Продольный изгиб реального стержня. Если в теоретических расчетах не учитывать начальные отклонения, то фактическая работа стержня при продольном изгибе искажается. Поэтому необходимо рассмотреть реальный стержень, которым имеет случайные отклонения от принимаемых идеальных предпосылок.
Рассмотрим вновь пространственный продольный изгиб стержня, нагруженного продольной силой N и концевыми моментами M1 и M2. Полученные ранее конечные формулы являются достаточно универсальными; так, например, формулу для плоского продольного изгиба можно рассматривать как частный случай общей формулы.
Таким образом, и здесь можно применить формулы взаимодействия, аналогичные полученным ранее. Однако в них требуется заменить критические нагрузки Npl,cr и Mpl,cr для идеального стержня предельными величинами, которые соответствуют реальному стержню со случайными отклонениями.
Если не учитывать влияние начальной погиби в плоскости внешних моментов, то формулу взаимодействия для расчета можно записать в виде

Дальнейший анализ будет сделан применительно к формуле (4.16). Если обозначить λх,fl=√π2E/σfl, N- Npl/c и M=Mpl/c0 (где с и сО -соответственно коэффициенты, учитывающие продольный изгиб и устойчивость при изгибе для упругого расчета), то формулу (4.16) можно записать в виде

В ЧСН 73 1401/1976 установлено, что сжатоизгибаемые стержни должны иметь гибкость не более 120√210/R=120√240/σfl (R или σfl в Н/мм2).
В одном из предложений при пересмотре норм проектирования для расчета сжатоизгибаемых стержней была рекомендована формула


Однако в нормах ЧСН 73 1401/1976 для расчета сжатоизгибаемых стержней приведена более простая формула

которая получена путем преобразования формулы (4.17). Здесь М - эквивалентный изгибающий момент M*, определяемый по формулам табл. 4.2. Нормы разрешают применять эту таблицу для стержней, у которых нагрузка (сила и момент) приложена между опорами стержня. Место приложения нагрузки в этом случае разделяет стержень на две части, для которых эквивалентный момент можно принимать как для стержня незакрепленной рамы.
Приведенные формулы справедливы для случая продольного изгиба, когда момент действует в плоскости, перпендикулярной главной оси Х (М=Мх) . Нормы не устанавливают, как поступать в случае, если стержень нагружен продольной силой N и моментами в двух главных плоскостях Mх и Mу. Предполагаем, что формулы (4.17) или (4.19) можно распространить и на этот случай:

Способность к повороту в пластических шарнирах на концах стержней. Рассмотрим вопрос, обладают ли концевые сечения стержня, нагруженного продольным изгибом, такой способностью к деформациям, чтобы при поворотах, возникающих в них пластических шарниров, мог образоваться полный механизм разрушения. Для ответа на этот вопрос следует проанализировать результаты экспериментальных исследований стальных рам и стержней на продольный изгиб.
Испытания для случая плоского продольного изгиба были проведены в CШA на стержнях, нагруженных сжимающей силой N и изгибающим моментом M1 на одном конце; при этом были приняты меры против появления пространственного изгиба. Результаты измерений показали, что поворот υ в пластическом шарнире на конце стержня в 4 раза превышал теоретический упругий поворот υel, отвечающий несущей способности. Характерная кривая M1/ Mpl=pel(υ/υel) приведена на рис. 4.13. Она соответствует стержню двутаврового сечения гибкости λх=55, нагруженному сжимающей силой N=0,325 Npl и моментом M1 на конце стержня, на котором образовался пластический шарнир. В других испытаниях наблюдались аналогичные зависимости.
Эксперименты также показали, что способность к повороту в пластическом шарнире увеличивается с уменьшением гибкости λx и увеличением силы N, т.е. при уменьшении влияния продольного изгиба.
Из этих исследований следует вывод, что при плоском продольном изгибе способность к повороту в пластических шарнирах в сечениях на концах стержня достаточна, чтобы в системе мог образоваться полный механизм разрушения.

При рассмотрении пространственного продольного изгиба необходимо в первую очередь ознакомиться с исследованиями, проведенными в Лехайском университете США. Были испытаны стержни двутавровых сечений 8 WF 31 и 4 WF 13 (широкополочные профили) с гибкостями от 27 до 111, нагруженные, в основном сжимающей силой N=0,12 Npl и различными комбинациями концевых моментов M1 и M2, стержни не были раскреплены против возникновения пространственного изгиба. Во многих испытаниях углы поворота в пластических шарнирах на концах были всего в 2 раза больше упругих углов поворота υel (в то время как при плоском продольном изгибе - в 4 раза). Большая способность к поворотам была выявлена в стержнях с неодинаковыми концевыми моментами. Вместе с тем исследования показали опасность ограниченных поворотов в пластических шарнирах на концах стержней при пространственном продольном изгибе.
В связи с этим в рассматриваемом случае необходимо заранее проверить, не появляются ли пластические шарниры на концах стержня при продольном изгибе последними в кинематическом механизме разрушения. Если это то даже недостаточная способность к повороту в последнем пластическом шарнире не препятствует возникновению такого механизма, поскольку именно этим шарниром завершается его образование. В противном случае пространственный продольный изгиб может ограничивать поворот в шарнирах и тем самым препятствовать появлению следующих пластических шарниров, которые должны завершить образование механизма разрушения. В этом случае для большей осторожности вместо учета возможности пространственного продольного изгиба лучше воспользоваться рекомендациями для неупругих стержней.

Искривление длинного бруса прямолинейной формы, сжимаемого силой, направленной вдоль оси, вследствие потери устойчивости равновесия (см. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ). Пока действующая сила Р невелика, брус только сжимается. При превышении нек-рого значения, наз. критической силой, брус самопроизвольно выпучивается. Это нередко приводит к разрушению или недопустимым деформациям стержневых конструкций.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия .Главный редактор А. М. Прохоров .1983 .

ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ

Деформация изгиба прямого стержня при действии продольных (направленных по оси) сжимающих сил. При квазистатич. возрастании нагрузки прямолинейная форма стержня остаётся устойчивой до достижения нек-рого критич. значения нагрузки, после чего устойчивой становится искривлённая форма, причём при дальнейшем возрастании нагрузки прогибы быстро увеличиваются.

Для призматич. стержня из линейно-упругого материала, сжатого силой Р, критич. значение даётся ф-лой Эйлера где E - модуль упругости материала, I - момент инерции поперечного сечения относительно оси, соответствующей изгибу, l - длина стержня, - коэф., зависящий от способа закрепления.Для стержня, опирающегося своими концами на опору,=1. При малых P -> 0 изогнутая ось близка по форме к где x - координата, отсчитываемая от одного из концов стержня. Для стержня, жёстко закреплённого на обоих концах, = 1/4; для стержня, к-рый одним концом закреплён, а другой (загруженный) его конец свободен, = 2. Критич. сила для упругого стержня отвечает точке бифуркации на диаграмме сжимающая сила - характерный прогиб. П. и.- частный случай более широкого понятия - потери устойчивости упругих систем.

В случае неупругого материала критич. сила зависит от соотношения между напряжением а и относит, деформацией при одноосном сжатии. Простейшие модели упругопластич. П. и. приводят к ф-лам типа Эйлера с заменой модуля упругости E либо на касательный модуль , либо на приведённый модуль . Для стержня прямоуг. сечения =В реальных задачах оси стержней имеют нач. искривления, а нагрузки приложены с эксцентриситетом. Деформация изгиба в сочетании со сжатием происходит с самого начала нагружения. Это явление наз. продольно-поперечным изгибом. Результаты теории П. и. используют для приближённой оценки деформации и несущей способности стержней с малыми нач. возмущениями.

При динамич. нагрузках формы П. и. и продольно-поперечного изгиба могут существенно отличаться от форм потери устойчивости при квазистатич. нагруже-нии. Так, при очень быстром нагружении стержня, опирающегося своими концами, реализуются формы П. и., имеющие две и более полуволны изгиба. При продольной силе, к-рая периодически изменяется во времени, возникает параметрический резонанс поперечных колебаний, если частота нагрузки , где - собств. частоты поперечных колебаний стержня, h - натуральное число. В нек-рых случаях параметрич. резонанс возбуждается также при

У стержней, длина которых значительно больше поперечных размеров, при определенной величине осевой сжимающей силы может происходить потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия. Это явление наз ывают продольным изгибом, а величину осевой силы, при которой сжатый стержень теряет прямолинейную форму равновесия, - критической силой F кр. Ее можно определить по формуле Эйлера

где E - модуль продольной упругости для материалов стержня; I min - минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня; l - длина стержня; l n - приведенная длина; - коэффициент приведения длины, величина которого зависит от закрепления концов стержня.

Формула Эйлера применима лишь в том случае, если потеря устойчивости стержня происходит при напряжениях, меньших предела пропорциональности, т.е. для стержней, гибкость которых больше предельной гибкости пред. Предельная гибкость зависит от упругих свойств материала и вычисляется по формуле

где пц - предел пропорциональности материала стержня.

Величина критической силы зависит не только от материала и размеров стержня, но и от способа закрепления его концов.

Теория механизмов и машин занимается приложением законов теоретической механики к механизмам и машинам.

Механизмом называется совокупность связанных между собой тел, имеющих определенные движения. Механизмы служат для передачи или преобразования движения.

Машина есть механизм или сочетание механизмов, осуществляющих определенные целесообразные движения. По выполняемым функциям машины можно разделить на следующие группы: для преобразования энергии (энергетические машины), перемещения грузов (транспортные машины), изменения формы, свойств, состояния и положения предмета труда (рабочие машины) или для сбора, переработки и использования информации (информационные машины).

Таким образом, всякая машина состоит из одного или нескольких механизмов, но не всякий механизм является машиной.

Работа механизма или машины обязательно сопровождается тем или иным движением ее органов. Это основной фактор, отличающий механизмы и машины от сооружений - мостов, зданий и т. д.

Простейшей частью механизма является звено. Звено - это одно тело или неизменяемое сочетание тел.

Два звена, соединенные между собой и допускающие относительное движение, называются кинематической парой. Кинематические пары бывают низшие и высшие. Звенья низших пар соприкасаются по поверхностям (поступательные, вращательные и винтовые пары), звенья высших пар соприкасаются по линиям и точкам (зубчатые пары, подшипники качения).

Совокупность кинематических пар называется кинематической цепью. Кинематические пары и цепи могут быть плоскими и пространственными. Звенья плоских механизмов совершают плоскопараллельное движение.

Механизм получается из кинематической цепи путем закрепления одного из звеньев. Это неподвижное звено называется станиной или стойкой.

Звено, вращающееся вокруг неподвижной оси, называется кривошипом. Звено, качающееся вокруг неподвижной оси, называется балансиром или коромыслом. Звено, совершающее сложное движение параллельно какой-то плоскости, называется шатуном. Звено, движущееся возвратно-поступательно по станине, называется ползуном. Подвижное звено, выполненное, например, в виде рейки с пазом и совершающее вращательное или иное движение, называется кулисой, в пазу скользит камень кулисы.

Звено, которому извне сообщается определенное движение, называется ведущим. Остальные подвижные звенья называются ведомыми.

Различные звенья и кинематические пары механизмов имеют свои условные обозначения по ГОСТу.

Законы и методы теоретической механики находят свое практическое приложение прежде всего в теории механизмов, так как механизмы являются кинематической основой всех машин, механических приборов и промышленных роботов.